Вопрос18

Лемма 1: интеграл по верхней полуокружности , при , если

Доказать: Уравнение полуокружности: ; Вычислить этот интеграл невозможно, но его можно оценить. Так как , то для любой положительной величины существует такое число , что в окрестности справедливо следующее утверждение . Иными словами, если , то и поэтому

Это и означает, что при , величина может быть сколь угодно малым числом , поэтому .

Вопрос19

Лемма 2(лемма Жордан):интеграл по верхней полуокружности вида , где . Данный интеграл стремится к 0 при , если функция , при , причем движение по равномерно и . Доказать:

Доказательство: Так как по условию , то для любого существует некоторое число , такое, что , то , это справедливо для всех , которые лежат в интервале . Уравнение полуокружности: ;

Таким образом если: 1) функция на действительной оси не имеет особых точек.

2) в верхней полуокружности имеет конечное число особых точек .

3) , то

Вопрос20

– некоторая рациональная функция, зависящая от синуса и косинуса и являющаяся конечной внутри интервала . В этом случае интеграл вычисляется с помощью замены .

Вопрос21

Операционное исчисление. Под операционным исчислением понимают методы решения задач, которые основаны на следующей схеме: В высшей математике операционные исчисления понимаются для решения дифференциальных уравнений. преобразованием Лапласа функции действительной переменной называется функция комплексного переменного , которое определяется следующей формулой:

Данный интеграл называется интегралом Лапласа, – комплексная переменная. Комплексные переменные обладают более широкими свойствами.

Для того, чтобы интеграл Лапласа сходился, функция должна удовлетворять 3 условиям:

1) функция должна быть кусочно-непрерывной, и данной функции разрешено иметь только разрывы 1 рода.

2) значение функции для любого значения , .

3) множитель - затухающая экспонента, поэтому функция должна расти не быстрее, чем функция .

Любую функцию , удовлетворяющую этим 3 условиям, называют оригиналом, а функцию называют изображением по Лапласу. ----для любого оригинала , изображение определено в полуплоскости , где – это так называемый показатель роста функции и данное изображение является в этой полуплоскости аналитической функцией

ВоПрос22

Основные свойства преобразований Лапласа. 1) Свойство подобия: Если , то для любого положительного числа функция Доказательство: 2) Свойство смещения: Если , то функция, полученная в результате перемножения оригинала на , 3) Свойство запаздывания: Если , то функция Если , то , следовательно .

Доказательство:

4) Свойство дифференцирования оригинала: Если , то для 5) Свойство дифференцирования изображения:

Если , то То есть дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на

Согласно теореме о существовании изображения, изображение является аналитическим в плоскости, которая , следовательно у изображения существует производная

6) Свойство интегрирования оригинала: Если , то Интегрированию оригинала от до соответствуетделение его изображения на . Если , то данный интеграл будет являться оригиналом. Поэтому . Тогда, по свойству дифференцирования оригинала, . С другой стороны , значит . То есть . 7) свойство интегрирования изображения:Если , и сходится, то . То есть интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на . 8) Свойство умножения изображения:

Если , а , то производная 9) Свойство свертки: Свертка обладает свойством переместительности, то есть , 10) Формула Дюамеля:

Если и производная также является оригиналом, то

Переход осуществляется через свертку.

11) Свойство умножения оригинала: Если

ВОПРОС***

Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методам.

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений операционным методам. Пусть функция , тогда по теореме о дифференцировании оригинала

Таком образом, исходное дифференциальное уравнение запишется в операторном виде

После нахождения необходимо вернуться к . Для этого необходимо воспользоваться алгоритмом, приведенным в предыдущем параграфе.