4.2. Прямая и плоскость в Vn

Определение. Пусть в аффинном пространстве V_n заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор .Множество

называется плоскостью в V_n. Размерностью плоскости X называется размерность соответствующего подпространства .

Одномерная плоскость пространства V_n называется прямой линией.

Плоскость размерности называется гиперплоскостью.

Две плоскости называются совпадающими, если они состоят из одних и тех же точек (векторов) пространства; в противном случае они называются несовпадающими.

Множество точек n-мерного пространства, принадлежащих как плоскости X₁, так и плоскости X₂, называется их пересечением, а сами плоскости X₁ и X₂ пересекающимися, если .

Две несовпадающие плоскости и , полученные сдвигом одного и того же подпространства L, называются параллельными.

Из определения плоскости следует, что всякая плоскость является линейным многообразием.

Всякая k-мерная плоскость может быть задана либо параметрическим уравнением

,

где — базис в L, — произвольные числа, либо как линейное многообразие системой линейных неоднородных уравнений

ранга n-k, где — координаты вектора .

В частности, всякая прямая задается либо системой линейных уравнений ранга , либо параметрическим уравнением

где — направляющий вектор прямой, λ — параметр. Если и — радиус-векторы двух точек прямой, то можно записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки

,

Наконец, в координатной форме можно записать каноническое уравнение прямой

,

где — координаты точки , — координаты некоторой фиксированной точки прямой; -координаты направляющего вектора прямой.

Всякая гиперплоскость задается одним линейным уравнением

Примеры

1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоскости.

П редположим вначале, что две данные прямые лежат в одной плоскости с уравнением

где λ₁, λ₂ — параметры. Тогда при некоторых , , ,

а при некоторых , , .

Поэтому вектор принадлежит линейной оболочке векторов и . Далее для произвольной точки 1 прямой найдутся такие λ₁ и λ₂, что

Значит и . Аналогично . Но всякие три вектора из двумерного подпространства линейно зависимы. Следовательно, необходимым условием принадлежности прямых плоскости является линейная зависимость векторов . Обратно, пусть линейно зависимы. Тогда существуют такие λ₁ и λ₂, что . Поэтому уравнение второй прямой можно переписать в виде

Очевидно, что теперь оба уравнения содержатся в уравнении плоскости H:

где t и τ параметры, и, следовательно, прямые принадлежат плоскости H.

2. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые и проходили через одну точку, но не совпадали.

Предположим, что при некоторых значениях параметров для первой прямой и для второй прямые пересекаются. Тогда

Отсюда следует, что векторы линейно зависимы. Данное соотношение далее можно при известных рассматривать как систему линейных уравнений (в координатной форме) на определение t₁ и t₂. Так как прямые не совпадают, то решение системы

(4.1)

единственно. Значит ранг матрицы системы равен 2 и векторы должны быть линейно независимы. Обратно пусть – линейно независимы, векторы – линейно зависимы. Тогда система (4.1) имеет и причем единственное решение. Следовательно, прямые пересекаются в единственной точке.