5.4. Задачи
1. Показать, что в пространстве Rn
скалярное произведение векторов
и
может быть определено выражением
где
.
2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:
а)
,
,
б)
,
,
,
3. Найти векторы, дополняющие следующую
систему векторов до ортонормированного
базиса
,
.
4. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:
,
,
5. Линейное подпространство L задано уравнениями
Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение .
6. Показать, что задание линейного подпространства L пространства En и его ортогонального дополнения в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.
7. Доказать, что
Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L.
8.
,
а L натянуто на векторы
;
,
9.
,
а L задано системой
уравнений
10. Найти расстояние от точки, заданной
вектором
до плоскости (линейного многообразия),
заданного системой уравнений
11. Найти расстояние между двумя плоскостями
и
,
где
,
,
,
,
,
Литература
1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.
2. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.
3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.
Содержание
1. Линейные пространства. Определение 3
1.1. Задачи 4
2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора 5
2.1. Задачи 10
3. Подпространства линейного пространства 11
3.1. Задачи 16
4. Точечно-векторное аффинное пространство 19
4.1.Система координат в пространстве 19
4.2. Прямая и плоскость в 20
4.3. Задачи 23
5. Евклидовы и унитарные пространства 25
5.1.Ортонормированный базис евклидова и унитарного
пространств 27
5.2.Ортогональное дополнение 30
5.3. Проектирование вектора на подпространства 31
5.4. Задачи 35
Литература 37