Матрицы линейного оператора в разных базисах

Пусть , – базисы в линейном пространстве . Матрицы и одного и того же оператора в базисах , связаны равенством

,

где – матрица перехода от базиса к базису .

Определители матриц и оператора равны, то есть определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса.

Задание 14. Считая матрицу из задания 13 матрицей линейного оператора в базисе , найти матрицу оператора в новом базисе . Проверить выполнимость равенства определителей матриц оператора в разных базисах.

14.1.	.
14.2.	.
14.3.	.
14.4.	.
14.5.	.
14.6.	.
14.7.	.
14.8.	.
14.9.	.
14.10.	.
14.11.	.
14.12.	.
14.13.	.
14.14.	.
14.15.	.
14.16.	.
14.17.	.
14.18.	.
14.19.	.
14.20.	.

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Пусть – линейный оператор. Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию (операторному равенству)

, , (2.1)

называется собственным вектором оператора . Число при этом называется собственным значением (собственным числом), соответствующим собственному вектору .

Говорят о собственных значениях и собственных векторах квадратной матрицы. При этом имеют в виду, что линейному оператору соответствует матрица в фиксированном базисе пространства.

Операторное равенство (2.1) можно переписать в матричном виде

, ,

( – координаты собственного вектора) или в виде системы уравнений

(2.2)

Уравнение вида

(2.3)

называется характеристическим уравнением оператора (уравнением для нахождения собственных значений оператора). Разложив определитель в уравнении (2.3), получим многочлен

, (2.4)

называемый характеристическим многочленом оператора , его корни [решения уравнения (2.3)] – характеристическими корнями многочлена (2.4).

При каждом найденном из уравнения (2.3) собственном значении однородная система (2.2) будет иметь ненулевые решения. Выделив фундаментальную систему линейно независимых решений, получим либо единственный собственный вектор , либо систему r линейно независимых собственных векторов оператора .

Число r линейно независимых собственных векторов, отвечающих одному собственному значению, называется геометрической кратностью собственного значения.

Алгебраической кратностью собственного значения называется такое число , что , , …, , .

Если – попарно различные собственные значения оператора , то система соответствующих им собственных векторов линейно независима.

Задание 15. Найти собственные числа и соответственные собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей в некотором базисе.

15.1		15.2		15.3
15.4		15.5		15.6
15.7		15.8		15.9
15.10		15.11		15.12
15.13		15.14		15.15
15.16		15.17		15.18
15.19		15.20