Ортогональные матрицы и ортогональные операторы
Квадратная матрица
называется ортогональной,
если она удовлетворяет равенству
.
Ортогональная
матрица
обладает свойствами: 1)
;
2)
;
3) матрицы
,
являются ортогональными матрицами.
Линейный оператор
в евклидовом пространстве V
называется ортогональным,
если для любых
:
.
Свойства ортогональных операторов:
1) ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве;
2) если
– ортогональный оператор,
– ортонормированный базис в V,
то система векторов
,
,
….,
– ортонормированный базис в V;
3) линейный оператор
,
переводящий ортонормированный базис
в ортонормированный базис
:
является ортогональным оператором;
4) линейный оператор является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица оператора в ортонормированном базисе является ортогональной;
5) в евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной;
6) если
и
– матрицы ортогонального оператора
в ортогональных базисах
и
,
то они связаны равенством
,
где – ортогональная матрица перехода от базиса к базису .
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
Чтобы привести
матрицу
линейного оператора
к диагональному виду необходимо, чтобы
базис
,
в котором эта матрица является
диагональной, состоял только из
собственных векторов этой матрицы.
Замена матрицы
ей диагональной
называется приведением
матрицы к диагональному виду.
Эта замена состоит в нахождении
невырожденной матрицы
такой, что выполняется равенство
или
.
(2.7)
Матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду в том и только в том случае, если сумма размерностей всех собственных подпространств оператора равна размерности линейного пространства, в котором рассматривается этот оператор.
При этом имеет место равенство (2.7), где матрица имеет вид
,
– собственные
значения матрицы
с учетом их алгебраических кратностей;
– матрица, столбцами которой являются
собственные векторы, соответствующие
собственным значениям
.
Задание 19. Выяснить, можно ли матрицу привести к диагональному виду переходом к новому базису. Если это можно сделать, то найти новый базис и соответствующее линейное преобразование.
19.1.
|
19.2.
|
19.3.
|
19.4.
|
19.5.
|
19.6. |
19.7.
|
19.8.
|
19.9.
|
19.10.
|
19.11. |
19.12.
|
19.13.
|
19.14. |
19.15. |
19.16. |
19.17. |
19.18. |
19.19. |
19.20. |
|
