§1. Ориентация поверхности.
Остановимся на понятии ориентированной поверхности. Пусть гладкая.
z
D
П
x y
Тогда
.
Внешней стороной
поверхности П
назовем ту сторону, которая соответствует
положительному направлению вектора
.
Противоположная сторона – внутренняя, она соответствует вектору « ».
Если на поверхности можно выбрать внешнюю и внутреннюю стороны, то она называется двусторонней.
Выбрать сторону
задать ориентацию (ориентировать)
поверхности.
Существуют неориентированные (не двусторонние) поверхности.
ПРИМЕР. Лист Мебиуса (немецкий математик 1790-1868 год). Если склеить прямоугольник так, чтобы А совпала с В’ , а В совпала с А’, получится поверхность, называемая листом Мебиуса. При обходе по листу Мебиуса нормаль меняет направление на противоположное.
В
В’
А
А’
ВА’
АВ’
У двусторонней
поверхности
при обходе замкнутого контура вектор
возвращается в первоначальное положение,
для неориентированных - в противоположное.
Для двусторонней
поверхности можно согласовать сторону
поверхности с направлением обхода
любого замкнутого контура
.
Пусть - замкнутый контур D.
- замкнутый контур П.
.
Если система координат (U,V) – правая, то при обходе против часовой стрелки, - обходится против часовой стрелки, если смотреть с внешней стороны поверхности (с конца вектора ).
В частности при z=z(x,y).
z
П
Т.к.
-острый,
y
x D
Т.е. внешней
соответствует сторона, у которой
.
Очевидно,
граница П. П
называется двусторонней, если она
удовлетворяет следующим условиям:
можно так выбрать ориентацию (сторону) ее гладких кусков, что общие части ориентации кусков обходятся в разных направлениях.
