§ 5. Условия независимости криволинейного интеграла II-го рода от формы пути интегрирования. Потенциальные и векторные поля.
Пусть векторное
поле
непрерывно в G;
/
Df.1
Выражение
(1)
называется полным дифференциалом в G,
если
,
что:
(2)
т.к.
,
то (1)
– полный дифференциал
если
и
(3)
Напомним, что для
:
(4)
тогда очевидна следующая Лемма:
– полный дифференциал
и
.
Доказательство следует из (3) и (4).
Имеют место следующие утверждения:
1)
полный дифференциал в G.
2) , что .
3)
не зависит от формы пути,
- кусочно-гладкая.
4)
-
замкнутого кусочно-гладкого,
:
Df.2
G-
область. Обозначим D
– область в G,
-
граница области (замкнутый простой
контур в
или поверхность в
).
Тогда G
– односвязная
.
Односвязное
G
D
G
Неодносвязное
Th.1 Пусть векторное поле определено в односвязной области G, , тогда условия (1), (2), (3) и (4) равносильны.
Доказательство:
Для доказательства введем два вспомогательных утверждения:
(3’)
-
ломанной,
не зависит от формы пути.
(4’)
-
замкнутой простой ломанной,
.
Доказательство проведем по следующей схеме:
(1)
(3’) (4’)
Отсюда будет следовать, что все условия эквивалентны.
Отметим, что (1)
(2)
доказано
Леммой. Далее ограничимся рассмотрением
плоского случая, т.е.
.
а) (1) (3)
Дано:
-
полный дифференциал, т.е.
,
что
.
●
●
Пусть
- гладкая кривая.
.
=
=
=
.
Пусть теперь
- кусочно-гладкая:
+
.
Таким образом,
также дается формула вычисления
,
если подынтегральное выражение полный
дифференциал.
б) (3) (4)
Пусть
не зависят от формы пути. Рассмотрим
любой контур Г
– замкнутый кусочно-гладкий,
.
●
● ●
●
По свойству кратного
интеграла II-го
рода
не
зависит от начальной точки.
,
тогда:
.
в) (4) (4’)
Это очевидно, т.к. замкнутая ломанная – частный случай кусочно-гладкой кривой.
г) (4’) (3’)
Ограничимся случаем непересекающихся ломанных.
Дано:
-
замкнутой ломанной
.
Доказать:
-
ломанной, соединяющей A
и B
не
зависит от формы пути.
Пусть
- две произвольные ломанные, тогда:
разобьем:
.
Можно доказать, что все останется в силе, если ломанные пересекаются.
д) (3’) (1)
Дано:
- ломанной,
не
зависит от формы пути.
Доказать:
что
Доказательство существования проведем построением.
●
●
x
,
т.к. G
открыто, то
,
что
.
Возьмем
.
Определим
=
.
Это можно сделать, т.к. интеграл не
зависит от формы пути и при фиксированной
точке А
зависит только от конечной точки В(x,y).
Найдем:
=
.
Т.к. Р(x,y) непрерывная в G следовательно по теореме о среднем:
,
причем при
,
.
Аналогично
показывается, что
полный
дифференциал.
СЛЕДСТВИЕ.
Доказательство теоремы позволяет установить метод отыскания U(x,y,z).
Пусть .
●
●
● ●
+
.
Df.3 Векторное поле , определенное в G, называется потенциальным, если оно удовлетворяет любому из равносильных условий (1), (2), (3) и (4); U называют потенциалом (потенциальной функцией) поля .
Очевидно, что U(M) определяется с точностью до константы.
Th.2
Пусть
,
G
– односвязная область. Тогда
потенциально в G
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
потенциально в G.
-
замкнутая кусочно-гладкая граница:
.
-
произвольный нормальный вектор из точки
к
плоскости, содержащей кривую Г.
●
По инвариантному определению :
Т.к.
произвольного направления, то пусть
.
Достаточность.
Пусть
.
- замкнутой
-
поверхность, что
(по
теореме Стокса)
- потенциально.
Df.4
Пусть векторное поле
называется бизвихревым
в G
если
.
Тогда теорему 2 можно переформулировать (перефразировать) следующим образом:
- потенциальное
безвихревое.
Таким образом, отсутствие вихрей является и необходимым и достаточным условием потенциальности поля.
Следует отметить, что необходимым и достаточным условием потенциальности поля является также равенство нулю циркуляции поля по любому замкнутому контуру.
Следует иметь ввиду, что приведенные выше рассуждения справедливы только в случае, когда поле определено во всех внутренних точках контура Г. Если же хотя бы в одной внутренней точке некоторого замкнутого контура поле не определено, то циркуляция по этому контуру может и не обращаться в нуль, хотя поле и потенциально.
Рассмотрим еще одно векторное поле – так называемое соленоидальное, или трубчатое поле.
Df.5
Поле вектора
называется соленоидальным
или трубчатым,
если в каждой точке опля
.
Или имея в виду
физический смысл
,
можно сказать, что соленоидальное поле
– это такое поле, в котором нет источников
и стоков.
Примером соленоидального поля является поле вихря вектора .
Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что в нем векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться, они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.
ПРИМЕР.
Проверить на
потенциальность поле:
.
Найти потенциал и вычислить
,
где
и
.
Решение:
Очевидно,
- имеют производные любого порядка в
,
т.е.
.
а) Проверка потенциальности:
=
поле
потенциально.
б) Определяем потенциал:
1
способ.
z
●
● ●
=
,
где
.
2 способ.
;
;
;
Итак:
.
в)
.