1.11 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
|
(1) |
,
где
и
постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде
,
где − некоторое число (предложено Л.Эйлером). Дифференцируя функцию два раза и подставляя выражения для , и в уравнение (1), получим:
,
т.е.
,
или
|
(2) |
.
Уравнение (2)
называется характеристическим
уравнением
дифференциального уравнения (1) (для его
составления достаточно в уравнение (1)
заменить
,
и
соответственно на
,
и 1).
В зависимости от природы корней характеристического уравнения придется рассмотреть три случая:
Случай 1.
Корни характеристического уравнения
(2) действительные и различные:
.
В этом случае
частными решениями уравнения (1) являются
функции
и
.
Они образуют фундаментальную систему
решений (линейно независимы), так как
вронскиан
.
Следовательно, общее решение уравнения (1), согласно теореме 3, имеет вид:
|
(3) |
.
Пример 1.
Решить уравнение:
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
.
Решаем его:
,
.
Записываем общее решение данного
уравнения
,
где
и
произвольные постоянные.
Ответ: .
Случай 2.
Корни
и
характеристического уравнения (2)
действительные и равные:
,
.
В этом случае имеем
лишь одно частное решение
.
Покажем, что наряду
с
решением уравнения (1) будет функция
.
Действительно,
подставим функцию
в уравнение (1). Имеем:
,
.
.
Здесь,
,
так как
есть корень уравнения (2);
,
так как по условию
.
То есть функция является решением уравнения (1).
Частные решения
и
образуют фундаментальную систему
решений:
,
действительно:
.
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:
|
(4) |
.
Пример 2.
Решить уравнение:
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
.
Решаем его:
.
Записываем общее решение данного
уравнения
,
где
и
произвольные постоянные.
Ответ:
.
Случай 3.
Корни
и
уравнения (2) комплексные:
,
.
По формуле Эйлера:
.
Рассмотрим функцию
,
так как второй случай
отличается несущественно
.
Убедимся, что − решение дифференциального уравнения (1).
,
.
Подставляя производные и функцию , в левую часть линейного однородного уравнения получаем:
.
Здесь применена
теорема Виета, в нашем случае:
,
.
Аналогично для функции .
Осталось проверить,
что функции
и
образуют фундаментальную систему
решений:
,
,
,
.
,
так как
,
(
− комплексное число, а
его мнимая часть).
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид:
,
или
|
(5) |
.
Пример 3.
Решить уравнение:
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
.
Решаем его:
,
.
По формуле (5) получаем общее решение
уравнения:
Ответ: .
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию формул (3)−(5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).