1.14 Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка методом вариаций произвольных констант

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ):

(1)

Предположим, что общее решение соответствующего однородного уравнения уже известно и имеет следующий вид: . Тогда на основании теоремы 4 (пункт 1.10) решение ЛНДУ имеет вид: . Таким образом осталось найти какое-либо решение неоднородного уравнения . Лагранж (Жозеф Луи 1736-1813, французский математик и механик) предложил искать функцию в том же виде, что и с той лишь разницей, что и уже не является константами, а некоторые функции переменной , подбор которых и должен обеспечить обращение неоднородного уравнения в верное равенство, при подстановке в него функции . Так как функции и подбираются произвольно, то этот метод называется метод вариаций произвольных констант.

(переменную опустим),

Так как функций и выбираются произвольно, то пусть они выбраны так, что . Значит

Подставим , и в уравнение (1):

Первые производные неизвестных функций являются решением системы: .

Главный определитель этой системы является вронскианом и он отличен от нуля на основании теоремы 2 пункт 1.10, значит система имеет единственное решение и . Для нахождения функций и нужно решить пару дифференциальных уравнений первого порядка.

Замечание. Метод Лагранжа имеет неудобство, связанное с вычислением двух интегралов для нахождения функций и , так как интегралы могут оказаться сложными.

Пример. Найти общее решение уравнения .