Завдання для самостійного розв’язування

12. Користуючись означенням границі функції в точці, знайти границі:

а) ; б) ; в) ; г) .

13. Знайти границі:

1) ;   2) ; 3) ;     

4) ; 5) ;     6) ;    7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) .

14. Знайти односторонні границі функції f у точці х₀:

а) , х₀=0; б) , х₀=–5;

в) , х₀=0; г) , х₀=1.

Відповіді:

12. а) –3; б) ; в) 0; г) .

13. 1) –13; 2) –5; 3) 3; 4) 6; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) 2.

14. а) , ; б) , ; в)  , ; г)  , .

Заняття 11

§3.4. Неперервність функції

Неперервність функції в точці. Функцію f, визначену в околі точки x₀, називають неперервною в цій точці, якщо =f(x₀) (означення неперервної функції мовою границь).

Умови, одночасне виконання яких забезпечує неперервність функції f в точці x₀:

1) функція f повинна бути визначена в околі точки x₀ (в тому числі і в самій точці x₀);

2) в точці x₀ вона повинна мати скінченну границю;

3) ця границя повинна дорівнювати значенню функції f в точці x₀, тобто =f(x₀).

Різницю х–х₀ (де х₀ – фіксоване число) називають приростом аргументу в точці х₀ і позначають х, а різницю f(х)–f(х₀) називають приростом функції f у точці х₀ і позначають f(х₀).

Функцію f, визначену в околі точки x₀, називають неперервною в цій точці, якщо =0 (означення неперервної функції мовою приростів).

Суть поняття неперервної функції в точці: функція f є неперервною в точці x₀, якщо при малих зміщеннях від цієї точки відповідні значення функції змінюються також мало (рис.3.21).

Рис.3.21

Якщо , то функцію f називають неперервною зліва (неперервною справа) у точці x₀. Для того щоб функція f була неперервною у точці x₀ необхідно і достатньо, щоб вона була неперервною в цій точці і зліва, і справа.

Функцію f називають неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Кожна елементарна функція є неперервною на своїй області визначення.

Властивості неперервних функцій

1. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні в точці х₀, то в цій точці неперервними будуть також функції f+g, f–g, fg, (остання за умови, що g(х₀)0).

2. Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b], то вона обмежена на цьому відрізку (перша теорема Вейєрштрасса).

3. Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень, тобто існують такі точки х₁, х₂[a;b], що і (друга теорема Вейєрштрасса).

4. Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і на кінцях відрізка набуває значень різних знаків, то існує принаймні одна точка с(a; b) така, що f(с)=0 (перша теорема Больцано-Коші).

5. Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і f(а)f(b), то для будь-якого числа С, що знаходиться між числами f(а) і f(b), існує точка с(a;b) така, що f(с)=С (друга теорема Больцано-Коші).

Точки розриву функції та їх класифікація. Функцію f називають розривною в точці x₀, якщо вона визначена в точках, як завгодно близьких до точки x₀, але не є неперервною в цій точці. При цьому точку x₀ називають точкою розриву функції f.

Функція f є розривною в точці x₀, якщо не виконується хоча б одна з умов 1–3 неперервності функції.

Точку х₀ називають точкою розриву першого роду функції y=f(x), якщо функція f у цій точці має скінченні ліву і праву границі. Якщо х₀ – точка розриву першого роду і односторонні границі дорівнюють одна одній (тобто існує ), то х₀ називають точкою усувного розриву функції f. При цьому розрив можна усунути, якщо покласти . Якщо односторонні границі не дорівнюють одна одній, то число називають стрибком функції f у точці х₀, а саму точку х₀ – точкою стрибкового розриву.

Точку х₀ називають точкою розриву другого роду функції y=f(x), якщо в цій точці принаймні одна з односторонніх границь не існує або дорівнює нескінченності.