Приклади

1. Довести неперервність функції f на області визначення за означенням:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Для заданої функції D(f)=R. Нехай х₀ – довільна фіксована точка з області визначення функції f. Доведемо неперервність функції f у точці х₀. Для цього використаємо означення неперервної функції в точці мовою границь. Враховуючи теореми про границю суми і добутку функцій, маємо:

= = .

Отже, = , тобто функція є неперервною в точці х₀. Оскільки х₀ – довільна точка з області визначення цієї функції, то функція f неперервна на своїй області визначення.

б) Нехай х₀ – довільна фіксована точка з області визначення D(f)=R. Доведемо неперервність функції f у точці х₀. Для цього використаємо означення неперервної функції в точці мовою приростів:

.

Якщо , то , . Тому

.

Згідно з означенням неперервної функції в точці мовою приростів функція неперервна в точці х₀. Оскільки х₀ – довільна точка з області визначення цієї функції, то функція f неперервна на D(f)=R.

2. Дослідити функцію f на неперервність і з’ясувати характер точок розриву:

а) ; б) ; в) ;

г) д)

Розв’язання. а) Область визначення функції f: D(f)=R\{–5;5}. Оскільки ф ункції f є елементарною, то вона неперервна в усіх точках області визначення. У точках х=–5 і х=5 функція f не визначена. Тому вона не є неперервною в цих точках (для кожної точки не виконується умова 1 неперервності функції). Оскільки функція f визначена в точках, як завгодно близьких до точок х=–5 і х=5 , то ці точки є точками розриву функції f.

Оскільки ,

,

то х=5 є точкою розриву другого роду.

З’ясуємо характер точки розриву х=–5.

, .

О скільки ліва і права границі функції f у точці х=–5 є скінченними, то ця точка є точкою розриву першого роду. Крім того, х=–5 є точкою усувного розриву (бо скінченні односторонні границі дорівнюють одна одній). Функцію f можна довизначити, поклавши . І тоді вона стане неперервною в точці х=–5.

Графік функції зображено на рис. 3.22.

б) Областю визначення функції f є множина R\{0}. Оскільки функція f є суперпозицією двох основних елементарних функцій і , то вона є елементарною функцією. Отже, вона неперервна на своїй області визначення. У точці х=0 функція f не визначена, однак визначена в точках як завгодно близьких до х=0. Тому х=0 – точка розриву функції f .

З’ясуємо характер точки розриву.

Якщо х0 і х<0, то . Тоді . Отже, .

Якщо х0 і х>0, то . Тоді . Отже, .

Оскільки односторонні границі функції f у точці х=0 є скінченними, то ця точка є точкою розриву першого роду, причому точкою стрибкового розриву (бо односторонні границі не дорівнюють одна одній).

– стрибок функції f у точці х=0.

Графік функції зображено на рис. 3.23.

в) Знайдемо область визначення функції :

D(f):   .

Функція f є елементарною функцією, як суперпозиція основної елементарної функції і елементарної функції . Тому ця функції є неперервною на своїй області визначення.

У точках х=­–2 і х=0 функція f не визначена (тому не є неперервною в цих точках), однак визначена в точках як завгодно близьких до х=­–2 і х=0. Тому х=­–2 і х=0 – точки розриву функції f .

У точці х=­–2 можна знаходити лише ліву границю, а у точці х=0 – лише праву.

Якщо х–2 і х<–2, то і . Тоді (див. графік логарифмічної функції). Отже, .

Якщо х0 і х>0, то і . Тоді . Отже, .

Таким чином, х=­–2 і х=0 – точки розриву функції f другого роду.

Графік функції зображено на рис. 3.24.

г) Функція визначна на множині R усіх дійсних чисел, неелементарна, оскільки задана трьома різними формулами. На інтервалах і – вона є неперервною функцією (бо на цих інтервалах вона задана неперервними функціями y=–1 і y=1 відповідно). Оскільки в точці х=0 не існує границя функції f (див. вправу 2 §3.2), то в цій точці функція f не є неперервною (бо не виконується друга умова неперервності функції). Однак функція f визначена в точках як завгодно близьких до точки х=0. Тому ця точка є точкою розриву функції f.

Оскільки , , то х=0 – точка розриву першого роду (стрибкового) із стрибком

.

д ) Задана функція визначна на множині R усіх дійсних чисел, неелементарна, оскільки задана двома різними формулами. На інтервалах і – вона є неперервною функцією (бо на цих інтервалах вона задана неперервною функцією ). Перевіримо виконання умов неперервності функції f у точці х=1.

У точці х=1 і в околі цієї точки функція f визначена.

Знайдемо односторонні границі функції f у точці х=1:

;

.

Оскільки , то в точці х=1 існує . Однак ця границя не дорівнює значенню функції f у точці х=1 ( ). Отже, не виконується умова 3 неперервності функції. Тому функція f у точці х=1 не є неперервної. Оскільки функція f визначена в точках як завгодно близьких до точки х=1, то ця точка є точкою розриву функції f.

Вище було встановлено, що в точці х=1 існують скінченні односторонні границі функції f, які дорівнюють одна одній. Отже, х=1 – точка розриву першого роду (усувна). Розрив функції f у точці х=1 можна усунути, якщо покласти .

Графік функції зображено на рис. 3.25.