Тема 2. Электромагнитные волны как форма существования электромагнитного поля. Уравнения даламбера для основных векторов электромагнитного поля. Волновые уравнения.

Электромагнитное поле может существовать в форме электромагнитных волн, т.е. может представлять собой физический процесс распространения колебаний векторов электромагнитного поля в материальной среде.

Для получения уравнений электромагнитных волн целесообразно предварительно преобразовать систему уравнений Максвелла (1) – (4) в систему уравнений Даламбера для основных векторов электромагнитного поля, решение которой позволит получить уравнения электромагнитных волн.

Для получения уравнения Даламбера для вектора электромагнитного поля применим линейный дифференциальный оператор к обеим частям первого уравнения Максвелла (1) и получим:

 , (17)

где учтено, что ;

; ; - векторный линейный дифференциальный оператор “набла”;  - линейный дифференциальный оператор Даламбера (“даламбериан”); - линейный дифференциальный оператор Лапласа (“лапласиан”); ; - физическая величина, равная модулю скорости распространения электромагнитных волн в вакууме; в системе единиц СИ.

Уравнение (17) есть искомое уравнение Даламбера для вектора электромагнитного поля.

Для получения уравнения Даламбера для вектора электромагнитного поля применим линейный дифференциальный оператор к обеим частям второго уравнения Максвелла (2) и получим:

 , (18)

где учтено, что ;

.

Уравнение (18) есть искомое уравнение Даламбера для вектора электромагнитного поля.

Если уравнения Даламбера (17) и (18) применяют тогда, когда их правые части равны нулевым векторам, т.е. когда (17) и (18) имеют вид:

 , (19)

 , (20)

то такие уравнения называют волновыми уравнениями для векторов и электромагнитного поля соответственно. Волновые уравнения наиболее часто применяют при рассмотрении электродинамических задач, связанных с исследованием процесса распространения электромагнитных волн в вакууме.

Уравнения (17) – (20) являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка гиперболического типа. Физические задачи, вообще, и электродинамические, в частности, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, называют линейными краевыми задачами. Для решения таких задач применяют различные методы, однако, для применения любого из методов желательно, чтобы правые части указанных уравнений были бы как можно проще. Но правые части уравнений Даламбера (17) и (18), в отличие от правых частей уравнений Максвелла (1) – (4), достаточно сложны, т.к. в правых частях уравнений Даламбера (17) и (18) стоят не сами функции и , как в уравнениях Максвелла (1) – (4), а временные и пространственные производные от и , т.е. , и . Такие сложные правые части затрудняют процесс нахождения решения системы уравнений Даламбера (17) и (18), поэтому желательно преобразовать систему (17) и (18) так, чтобы форма левой части уравнений (17) и (18) осталась бы неизменной, а в правых частях преобразованных уравнений (17) и (18) желательно иметь непосредственно функции и , как и в системе уравнений Максвелла (1) – (4). Такое преобразование системы уравнений Даламбера (17) и (18) выполнить можно, но для этого необходимо ввести в рассмотрение вспомогательные функции, связанные с векторами и электромагнитного поля и называемые потенциалами электромагнитного поля.

ТЕМА 3. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВИДЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

Введём понятие о потенциалах электромагнитного поля. Для этого учтём, что, согласно четвёртому уравнению Максвелла (4), , а согласно одному из тождеств векторного анализа имеем:

, (21)

где - произвольная векторная функция, в общем случае, трёх пространственных координат и времени.

Если теперь положить:

, (22)

то четвёртое уравнение Максвелла (4) будет удовлетворено, поскольку справедливо тождество (21). Вспомогательную векторную функцию , определяемую соотношением (22), называют векторным потенциалом электромагнитного поля. Если мы будем знать , то определим из (22).

Преобразуем теперь второе уравнение Максвелла (2), учтя (22), тогда получим:

,(23)

где учтены свойства линейных операторов

и .

Воспользуемся известным из векторного анализа тождеством:

, (24)

где - произвольная скалярная функция, в общем случае, трёх пространственных координат и времени; - линейный дифференциальный оператор.

Положим в соотношении (23)

, (25)

при этом второе уравнение Максвелла (2) будет удовлетворено, поскольку справедливо тождество (24).

Из равенства (25) получаем:

. (26)

Вспомогательную скалярную функцию , определяемую соотношением (25), называют скалярным потенциалом электромагнитного поля. Если мы будем знать и , то определим из (26).

Итак, понятия о потенциалах электромагнитного поля введены.

Теперь, воспользовавшись понятием о потенциалах и электромагнитного поля, преобразуем систему уравнений Даламбера (17) – (18) так, чтобы форма левой части уравнений (17) – (18) осталась бы неизменной, а в правой части преобразованных уравнений (17) – (18) желательно иметь непосредственно функции и , как и в правых частях уравнений Максвелла (1) – (4).

Преобразуем вначале первое уравнение Даламбера (17), воспользовавшись равенством (22), тогда получим:

□ , □ ,

□ , (□ ) , (27)

где учтены свойства линейных операторов □ и .

Из равенства (27) следует, что векторный потенциал электромагнитного поля удовлетворяет следующему уравнению Даламбера:

□ . (28)

Преобразуем теперь второе уравнение Даламбера (18), воспользовавшись равенством (26), тогда получим:

□ ,

□ ,

□ , (29)

где учтены свойства линейных операторов □, и .

Из равенства (29) следует, что векторный потенциал электромагнитного поля удовлетворяет следующему уравнению Даламбера:

□ . (30)

Уравнения (28) и (30) образуют систему уравнений Даламбера для потенциалов электромагнитного поля.

Полученная система уравнений (28) и (30) удовлетворяет всем тем требованиям, которые мы сформулировали перед тем как начинать преобразование системы уравнений (17) и (18), а именно: форма левых частей уравнений (28) и (30) осталась такой же, как в системе уравнений (17) и (18), а правые части уравнений (28) и (30) значительно проще правых частей уравнений (17) – (18) и столь же просты, как и правые части уравнений Максвелла (1) – (4);этого мы и добивались, приступая к преобразованию уравнений (17) и (18).

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВИДЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

Для интегрирования уравнений Даламбера (28) и (30) для потенциалов электромагнитного поля наиболее часто в электродинамике, вообще, и в радиоэлектронике, в частности, применяют метод, разработанный немецким физиком Густавом Робертом Кирхгофом (1824 - 1887) и базирующийся на формулах английского математика Георга Грина (1793 - 1841).

Кирхгоф показал, что в случае, если все электрически заряженные частицы вещества находятся внутри некоторого ограниченного объёма , ограниченного некоторой замкнутой поверхностью .(рис.1),

Рис.1.

то потенциалы и электромагнитного поля в произвольной точке наблюдения определяются в виде, так называемых, запаздывающих потенциалов:

, (31)

(32)

и являющихся частными решениями уравнений (28) и (30) соответственно.

В соотношениях (31) и (32) приняты следующие обозначения: - радиус-вектор точки наблюдения относительно начала отсчёта (рис.1); - радиус-вектор точки излучения относительно начала отсчёта ; - радиус-вектор точки наблюдения относительно точки излучения ; ; ; - момент наблюдения; - момент излучения; ; - расстояние между точками излучения и наблюдения (рис.1).

Потенциалы и электромагнитного поля, определяемые соотношениями (31) и (32), называют запаздывающими потому, что их значения в моменты наблюдения в точке наблюдения запаздывают относительно моментов излучения электромагнитного поля из точки излучения на время , необходимое электромагнитной волне, распространяющейся со скоростью , для того, чтобы пройти расстояние от источника, т.е. от точки излучения , до точки наблюдения .