§3. Некоторые классы интегрируемых функций

1. Интегрируемость непрерывных функций

Теорема 1. Если функция f(x) определена и непрерывна на [a;b] (a<b), то f интегрируема на [a;b].

Доказательство.

Т.к. f непрерывна на [a;b], то она ограничена на нём и равномерно непрерывна на нём (теорема Кантора). Возьмём произвольное разбиение отрезка [a;b] и составим разность , где . Т.к. f непрерывна на [x_k-1;x_k], то m_k является наименьшим, а M_k-наибольшим значением f на [x_k-1;x_k], т.е. существуют x_k′ и x_k″, такие, что f(x_k′)=m_k, f(x_k″)=M_k. Следовательно, . (1)

Выберем произвольное ε>0. Т.к. f равномерно непрерывна на [a;b], то для выбранного ε>0 существует δ>0, такое, что x′, x″ [a;b], удовлетворяющих условию |x′-x″|<δ, выполнено, |f(x″)-f(x′)|< .

Пусть Т- такое, что λ<δ. Тогда |x_k″-x_k′|≤|x_k-1;x_k|<∆x_k=λ<δ и, следовательно, выполняется неравенство |f(x_k″)-f(x_k′)|< . Тогда из (1) следует, что

₌ .

Получили, что для любого разбиения Т, такого, что λ<δ выполнено . Следовательно, . Значит, согласно критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a;b]

2. Интегрируемость монотонной функции

Теорема 2. Если функция f(x) определена и монотонна на [a;b], то она интегрируема на [a;b].

Доказательство.

Пусть f(x)-монотонно возрастает на [a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. f возрастает, то m_k=f(x_k-1), M_k=f(x_k); M_k>m_k для любого , f(x_k)>f(x_k-1). Пусть ε-произвольное положительное число. Выберем . Пусть Т- такое, что λ<δ, тогда

.

Получили, что ε>0 δ>0, такое, что для любого разбиения Т: λ<δ выполнено . Это значит, что . Следовательно, f интегрируема на [a;b]

3. Интегрируемость функций, имеющих конечное число точек разрыва

Теорема 3. Если функция f(x) определена, ограничена на [a;b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a;b].

Определение. Функция f называется кусочно непрерывной на [a;b], если она непрерывна на [a;b], кроме конечного числа точек разрыва, и притом только первого рода.

Следствие. Если функция f кусочно непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b].

Лемма. Пусть f и g определены на [a;b] и f(x)=g(x) x (a;b). Тогда, если f интегрируема на [a;b], то и g интегрируема на [a;b] и

.

Лемма утверждает, что если f интегрируема на [a;b], то её интегрируемость и величина определённого интеграла не изменится, если изменить значения функции f на концах отрезка и также в любом конечном числе точек отрезка.

Множество всех функций, интегрируемых по Риману на [a;b] обозначают R[a;b]. Т. о., f R[a;b] тогда и только тогда, когда f R(a;b).

Расширим понятие определённого интеграла. Будем считать по определению, что .

§4. Основные свойства определённого интеграла

1. . (1)

Доказательство.

Пусть a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k]. Составим .

Будем считать

а-верхним пределом, b-нижним пределами интегрирования (для выбранных Т и ξ_k):

b=x₀′>x₁′>x₂′>…>x′_n-1>x′_n=a, ∆x′_k=x′_k-x′_k-1<0, .

. Следовательно, S′=-S. (2)

По условию существует . Следовательно, существует

. Переходя в равенстве (2) к пределу при 0, получим равенство (1).

2. Если f и g интегрируемы на [a;b], то и функция f+g также интегрируема на [a;b], причём (3)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k].

. (4)

По условию существуют , . Следовательно, существует предел правой части равенства (4), равный . Значит, существует и предел левой части:

.

Переходя в (4) к пределу, получим (3).

3. Если f R[a;b], , то функция cf R[a;b] и

. (5)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k]. Имеем . (6)

Т.к. f R[a;b], то существует . Следовательно, существует и предел левой части равенства (5) и он равен . Переходя в (6) к пределу, получим (5).

Следствие. Если f, g R[a;b] и α, β , то функция (αf+βg) R[a;b] и

.

В частности, .

4. Если f R[a;b], то f R[α;β], где [α;β] [a;b].

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. f R[a;b], то ε>0 δ>0, такое, что для любого разбиения Т: λ<δ выполнено . Пусть Т: λ<δ. Присоединим к Т точки α и β. Получим разбиение Т′. По свойству 2 верхних и нижних сумм Дарбу , . Следовательно,

. (7)

Разбиение Т′ порождает разбиение Т отрезка[α;β]. Следовательно, и для и будет выполняться (7), т.е. для любого разбиения Т″: λ<δ. По необходимому и достаточному условию интегрируемости это означает, что f R[α;β].

5. (Аддитивное свойство интеграла) Пусть a<c<b и f R[a;b]. Тогда f R[a;с] и f R[с;b] и . (8)

Доказательство.

Интегрируемость функции f на [a;c] и [c;b] следует из свойства 4. Докажем (8). Пусть Т - произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. предел S(T, ξ_k) не зависит от способа разбиения [a;b], то будем считать, что с – одна из точек деления. Выберем произвольно точки ξ_k [x_k-1;x_k], . Т порождает разбиение Т с точками ξ_k отрезка [a;c] и Т с точками ξ_k отрезка [c;b], причём Т=Т Т, {ξ_k}={ξ_k } {ξ_k }. Тогда

S(T,ξ_k)=S(Т,ξ_k)+S(Т,ξ_k). (9)

Ясно, что λ(Т )≤λ(Т), λ(Т )≤λ(Т). Следовательно, если λ(Т)→0, то λ(Т )→0 и λ(Т )→0. Переходя к пределу в (9), получим (8).

Интегрирование неравенств

6. Если f R[a;b] и f(x)≥0 на [a;b], a<b, то . Если f(x)≤0, a<b, то .

Доказательство.

Пусть f(x)≥0 x [a;b], a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно точки ξ_k [x_k-1;x_k], . Составим интегральную сумму . Т.к. f(ξ_k)≥0 и Δx_k>0, то S(T,ξ_k)≥0. Переходя к пределу, получим . Случай f(x)≤0 – аналогично.

` Замечание 1. Если f(x)≥0, a>b, то ;

если f(x)≤0, a>b, то .

Замечание 2. Если f(x)≥m, a<b, то .

Доказательство.

Действительно, f(x)-m≥0, a<b, следовательно, . С другой стороны, . Следовательно, . Отсюда .

Замечание 3. Пусть f непрерывна и неотрицательна на [a;b]. Если f(x₀)>0, где x₀ [a;b], a<b, то .

Доказательство.

Т.к. f непрерывна на [a;b], то f непрерывна в x₀ [a;b]. Следовательно, ε>0 δ>0, такое, что x (x₀-δ;x₀+δ) выполнено |f(x)-f(x₀)|<ε. Возьмём . Обозначим α=x₀-δ, β=x₀+δ. Тогда x (α;β) следует:

, .

Тогда .

7. Пусть f, g R[a;b], a<b, f(x)≤g(x) x [a;b]. Тогда .

Доказательство.

Применим свойство 6 к функции (g(x)-f(x))≥0: . С другой стороны, . Следовательно, . Отсюда .

Замечание. Если f, g C[a;b], и в любой точке x₀ [a;b] выполнено неравенство f(x₀)<g(x₀), то .

8. Если f R[a;b], a<b, то | f | R[a;b] и . (10)

Доказательство.

1) Докажем, что | f | R[a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Обозначим , .Справедливо неравенство

(11)

(если m_k и M_k одного знака, то , а если разного, то ).

Умножим обе части (11) на Δx_k и просуммируем по k от 1 до n. Получим . Т.к. f R[a;b], то по критерию интегрируемости ε>0 δ>0, такое, что , если λ<δ. Значит, . Поэтому | f | R[a;b].

2) Докажем (10). В силу свойств модуля -| f(x)|≤ f(x)≤| f(x)|. Проинтегрируем по х на [a;b], используя свойство 7 и свойство 3:

.

Следовательно, (по свойству модуля), .

9. Теорема о среднем значении определённого интеграла

Если f непрерывна на [a;b], то на [a;b] существует точка с, такая, что

. (12)

Доказательство.

Т.к. f C[a;b], то f достигает на [a;b] наименьшего и наибольшего значений m и M соответственно, т.е. x [a;b] m≤f(x)≤M.

а) Пусть a<b. По свойству 7 . Следовательно,

. (13)

Отсюда . Обозначим , где – число, заключённое между m и M. Т.к. f непрерывна на [a;b], то существует точка с [a;b], такая, что f(c)=μ. Следовательно, .

б) Пусть a>b. Тогда .