§5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть f
R[a;b].
Тогда x:
a≤x≤b
f
R[a;x],
т.е. существует
.
Переменную интегрирования обозначим
через t,
чтобы не смешивать её с верхним пределом
x.
Это можно сделать, т.к. величина
определённого интеграла не зависит от
буквенного обозначения переменной
интегрирования. Рассмотрим функцию
Ф(х)
, (1)
определённую на [a;b]. Она называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Если f(x) непрерывна на [a;b], то функция Ф(x) имеет производную в каждой точке x[a;b], причём Ф (x)=f(x). (2)
Доказательство.
Выберем произвольно точку x0 [a;b]. Точке x0 придадим приращение Δx≠0 так, чтобы x0+Δx [a;b]. Тогда Ф(x) получит приращение
ΔФ(x0)=Ф(x0+Δx)-Ф(x0)=
,
где c [x0;x0+Δx] (по теореме о среднем). При Δx→0 c→x0.
. (3)
По условию f
непрерывна в точке x0
(т.к. f
C[a;b]).
Следовательно, существует
.
Т.к. существует предел правой части равенства (3), равный f(x0), то существует и предел левой части равный Ф (x0). Переходя в равенстве (3) к пределу, получим Ф (x0)=f(x0).
Итак, если f C[a;b], то Ф имеет производную в каждой точке x[a;b], и при этом Ф (x)=f(x).
Теорема 2. Если
f
C[a;b],
то она на [a;b]
имеет первообразную, причём любая её
первообразная имеет вид
.
Доказательство.
Т.к. f C[a;b], то по теореме 1 Ф(x) дифференцируема на [a;b] и Ф (x)=f(x), т.е. Ф(x) является первообразной для f(x) на [a;b]. Следовательно, любая первообразная F(x) на [a;b] будет иметь вид F(x)=Ф(x)+C или .
Теорема 3. Пусть
f
непрерывна на [a;b].
Если F(x)
является произвольной её первообразной
на [a;b],
то
. (4)
Формула (4) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Доказательство.
Т.к. f(x)С[a;b],
то она на [a;b]
имеет первообразную. Пусть F
- произвольная первообразная для f(x)
на [a;b],
и пусть
.
По теореме 1 функция Ф(x)
также является первообразной для f
на [a;b].
Итак, функции F(x)
и Ф(х)
являются первообразными для одной и
той же функции, значит, они отличаются
на постоянную, т.е. Ф(x)=F(x)+C0,
x
[a;b].
Следовательно,
.
Положим здесь
x=a,
получим, С0=-F(a).
Отсюда,
.
Положим здесь
x=b,
получим
.
Обозначим
.
Тогда формула Ньютона-Лейбница примет
вид
.
§6. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование чётных и нечётных функций
Определение. Функция f(x) называется непрерывно дифференцируемой на [a;b], если она непрерывна на [a;b] и её производная f тоже непрерывна на [a;b].
Множество всех функций, определённых и непрерывно дифференцируемых на [a;b] обозначают C1[a;b].
Теорема 1. Если
u=u(x)
и v=v(x)
непрерывно дифференцируемы на [a;b],
то
. (1)
Доказательство.
По условию u и v имеют непрерывные производные на [a;b]. Следовательно, функция uv имеет непрерывную производную на [a;b].
(u(x)v(x))=u
(x)v(x)+u(x)v
(x).
Отсюда
следует, что функция uv
является первообразной для (u
v+uv
), непрерывной
на [a;b].
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
.
По свойству интеграла
.
Отсюда получаем (1).
Замечание. u
(x)dx=du,
v
(x)dx=dv,
следовательно, формула (1) может быть
записана в виде
.
Теорема 2. Пусть 1) f C[a;b],
2) x=φ(t) C1[α;β] –однозначная функция и t [α;β] x=φ(t) [a;b] (т.е. φ[α;β][a;b]),
3) φ(α)=a, φ(β)=b.
Тогда справедлива
формула
.
(2)
Доказательство.
Т.к. f C[a;b], то она имеет первообразную. По формуле Ньютона-Лейбница . (3)
Рассмотрим функцию F(φ(t)).
(F(φ(t))=Fx(φ(t))φt(t)=f(φ(t))φ (t), т.к. F (x)=f(x). Отсюда следует, что функция F(φ(t)) является первообразной для f(φ(t))φ (t) на [α;β]. Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим
. (4)
Из равенств (3) и (4) следует равенство (2)
Пример.
.
Теорема 3. Пусть f R[-a;a], тогда
если f
- чётная на [-a;a],
то
;
если f
- нечётная
на [-a;a],
то
.
Доказательство.
;
.
Следовательно,
.
Если f – чётная, то f(x)+f(-x)=2f(x). Следовательно, .
Если f – нечётная, то f(x)+f(-x)=0. Следовательно, .