Лекція №13 методи розпізнавання технічного стану об′єкта

1. Метод Байєса

Припустимо, що э діагноз та проста ознака , що зустрічається при цьому діагнозі об′єкта. Імовірність одночасного появлення у об′єкта стану та ознаки становить:

. (13.1)

Тоді імовірність діагноза після того, як стала відома наявність у об′єкта ознаки , визначається згідно формулі Байєса (апостеріорна оцінка):

, (13.2)

де - імовірність діагноза , що визначається по статистичним даним (апріорна імовірність діагноза); - кількість об′єктів, у яких спостерігався стан ; - загальна кількість обстежених об′єктів; - імовірність появи ознаки у об′єктів зі станом ; - кількість об′єктів з діагнозом , у яких з′явилася ознака ; - імовірність виникнення ознаки у всіх об′єктах незалежно від діагнозу; - загальна кількість об′єктів, у яких з′явилася ознака незалежно від діагноза.

Припустимо, що обстеження проводиться по комплексу ознак , що складається з ознак , та кожна з ознак має розрядів. В результаті діагностики стає відома реалізація ознаки та всього комплекса ознак . Формула Байєса для комплекса ознак має вигляд:

, (13.3)

де - імовірність діагноза після того, як стали відомі результати обстеження по комплексу ознак ; - попередня імовірність діагноза .

Для визначення імовірності появи комплекса незалежних ознак у об′єкта з діагнозом необхідно скористатися залежністю:

, (13.4)

де - загальна кількість ознак.

Імовірність появи комплекса ознак визначається співвідношенням:

, (13.5)

де - кількість діагнозів системи.

Таким чином, узагальнена формула Байєса за умови незалежності ознак може бути записана у вигляді:

. (13.6)

Для прийняття рішення про знаходження об′єкта з реалізацією комплекса ознак у стані необхідно використати наступне вирішальне правило:

, якщо > , , . (13.7)

Таке правило зазвичай уточнюють шляхом введення порогового значення для імовірності діагноза:

, (13.8)

де - рівень розпізнавання для діагноза .

При цьому імовірність найближчого конкуруючого діагноза не перевищує . Зазвичай приймають .

У випадку:

(13.9)

рішення про діагноз не приймається (відмова від розпізнавання), необхідна додаткова інформація.

2. Загальні відомості щодо методів статистичних рішень для одного діагностичного параметра

Нехай проводиться диференційна діагностика стану об’єкта за параметром х та вирішальне правило полягає в наступному:

(13.10)

де - справний стан об’єкта; - наявність дефекта об’єкта.

Задача полягає у виборі такого граничного значення , щоб вирішальне правило (13.10) давало найменшу кількість помилкових рішень.

Помилковою тривогою називається випадок прийняття рішення про наявність дефекта, хоча насправді система (об’єкт) знаходиться в справному стані (замість діагноза приймається діагноз ).

Пропуск дефекта – прийняття рішення про справний стан системи (об’єкта), в той час, коли дефект наявний (замість приймається діагноз ).

Позначимо - можливі рішення згідно сформульованого правила ( =1,2), причому - індекс прийнятого діагноза, - індекс дійсного стану. Тоді: - пропуск дефекта; - помилкова тривога; - справний стан об’єкта; - наявність дефекта.

Функції розподілення щільностей імовірностей випадкової величини х (діагностичного параметра об’єкта) для справного та дефектного об’єкта не співпадають, а перетинаються у визначеній зоні значень х, тому принципово неможливо обрати таке значення , за якого вирішальне правило не давало б помилкових рішень (рис.13.1).

Задача полягає в тому, щоб вибір був в деякому смислі оптимальним, тобто давав найменшу кількість помилкових рішень.

Розглянемо імовірність помилкової тривоги . Це випадок, коли при об’єкт є справним, однак по вирішальному правилу розглядається як дефектний. Умовна імовірність ситуації для справних об’єктів визначається як площа під кривою щільності , що відповідає :

. (13.11)

Імовірність помилкової тривоги дорівнює:

, (13.12)

де - апріорна імовірність наявності справного стану (діагноза ).

Імовірність пропуска дефекта визначається аналогічно:

. (13.13)

Імовірність прийняття помилкового рішення складається з імовірностей помилкової тривоги та пропуска дефекта:

, (13.14)

де - ціна помилки типу «помилкова тривога»; - ціна помилки типу «пропуск дефекта».

В задачах надійності ціна пропуска дефекта зазвичай більше ціни ложної тривоги:

. (13.15)

Якщо вводяться ціни правильних рішень ( , ), протилежні за знаком цінам помилок, то в загальному випадку середній ризик визначається наступним чином:

(13.16)