Лекція №6 розрахунок надійності невідновлюваних систем на основі теорем складання та множення імовірностей
Даний метод розрахунку використовується при оцінці надійності систем, що складаються з послідовно або паралельно з’єднаних елементів без відновлення.
1
.
Розглянемо
випадок
послідовного
з’єднання елементів.
При послідовному з’єднанні відмова
системи виникає при відмові будь-якого
елемента. Припустимо, що система
складається з
-послідовно
з’єднаних елементів (рис. 6.1) Позначимо
імовірність безвідмовної роботи
-го
елемента системи на інтервалі (0бсистеми
на інтервалі (0,
).
Приймемо припущення про статистичну
незалежність відмов елементів.
Імовірність безвідмовної роботи системи визначається як добуток імовірностей безвідмовної роботи її елементів:
,
(6.1)
де
- стан працездатності
-го
елемента;
-
логічне «ТА» (символ перетину подій).
Імовірність відмови системи на інтервалі (0, ) становить:
,
(6.2)
де
- імовірність відмови
-го
елемента системи на інтервалі (0,
).
1.1 Якщо імовірність безвідмовної роботи кожного елемента підпорядковується експоненціальному закону розподілення, то
,
(6.3)
де
- стала інтенсивність відмов
-го
елемента.
Для такої системи імовірність безвідмовної роботи становить:
.
(6.4)
Тобто інтенсивність відмов системи при послідовному з′єднанні елементів дорівнює сумі інтенсивностей відмов елементів:
.
(6.5)
Середнє напрацювання до відмови системи в загальному випадку становить:
.
(6.6)
При експоненціальному розподіленні імовірності безвідмовної роботи середнє напрацювання до відмови становить:
.
(6.7)
Щільність імовірності відмов становить:
.
(6.8)
1.2. Розглянемо випадок рівної надійності елементів системи:
.
(6.9)
Імовірність безвідмовної роботи такої системи складає:
.
(6.10)
При рівній надійності елементів виконується умова:
.
(6.11)
Тоді інтенсивність відмови системи становить:
.
(6.12)
Щільність імовірності відмов для системи, що складається з елементів рівної надійності, становить:
,
(6.13)
де - щільність імовірності відмови одного елемента.
Якщо відома імовірність безвідмовної роботи системи з елементів рівної надійності на інтервалі (0, ), то імовірність безвідмовної роботи кожного елемента становить:
.
(6.14)
Таким чином, надійність системи послідовної структури не може перевищувати надійності найненадійнішого елемента. Збільшення кількості послідовно з’єднаних елементів суттєво знижує надійність системи в цілому.
Приклад.
Нерезервована система складається з
чотирьох послідовних елементів, причому
імовірність безвідмовної роботи кожного
елемента відповідає експоненціальному
закону розподілення. Інтенсивності
відмов елементів наступні:
=7∙10-5
год-1;
=5∙10-5
год-1;
=8∙10-5
год-1;
=4∙10-5
год-1.
Необхідно визначити показники надійності
системи, причому
та
отримати на інтервалі від 0 до 1000 годин
з інтервалом 200 годин.
а) Інтенсивність відмов системи:
год-1.
б) Середнє напрацювання до відмови:
год.
в) Імовірність безвідмовної роботи:
.
д) Щільність розподілення часу роботи до відмови:
.
, год. |
|
|
0 |
1 |
2,40∙10-4 |
200 |
0,953 |
2,29∙10-4 |
400 |
0,908 |
2,18∙10-4 |
600 |
0,866 |
2,08∙10-4 |
800 |
0,825 |
1,98∙10-4 |
1000 |
0,787 |
1,89∙10-4 |
2
.
Розглянемо
випадок паралельного з′єднання
елементів.
При паралельному з′єднанні елементів
відмова системи виникає при відмові
всіх її елементів. Працездатність
системи зберігається при збереженні
працездатного стану хоча б одного
елемента. Розглянемо систему, що
складається з m
паралельно з′єднаних елементів (рис.
6.2).
Позначимо
- стан працездатності і-го
елемента. Стан працездатності системи,
що складається з послідовно з′єднаних
елементів, визначається:
,
(6.15)
де
-
символ об′єднання подій (логічне «АБО»).
Тоді імовірність безвідмовної роботи системи при паралельному з′єднанні елементів становить:
.
(6.16)
Оскільки події є сумісними, то можна записати:
.
(6.17)
Розрахунки
згідно останньому виразу становлять
деякі труднощі, тому розглядають
протилежні події
(настання відмови і-го
елемента), тоді:
.
(6.18)
Імовірність відмови системи на інтервалі (0, t) становить:
,
(6.19)
де
- імовірність відмови і-го
елемента на інтервалі (0, t).
Якщо імовірності безвідмовної роботи всіх елементів однакові та дорівнюють , то імовірності безвідмовної роботи системи складає:
.
(6.20)
Останній вираз свідчить, що паралельне з′єднання є ефективним засобом підвищення надійності системи, що дозволяє з ненадійних елементів створити високонадійну систему. Причому, чим більше паралельно ввімкнених елементів, тим вище надійність системи в цілому.
Наприклад, якщо система складається з =5 паралельно ввімкнених елементів, імовірності безвідмовної роботи яких однакові та дорівнюють 0,5, то імовірність безвідмовної роботи всієї системи становить:
.
При вирішенні зворотньої задачі визначають таку імовірність безвідмовної роботи елемента, щоб отримати задану імовірність безвідмовної роботи системи з паралельних елементів. Для цього можна скористатися виразом:
.
(6.21)
Щільність імовірності відмов для системи з паралельних рівнонадійних елементів становить:
,
(6.22)
де - щільність імовірності відмов одного елемента.
Інтенсивність відмов такої системи:
,
(6.23)
де
- інтенсивність відмов одного елемента.