30. Нестандартні задачі і теореми елементарної геометрії. Принцип Діріхле. Теореми Чеви і Менелая.

Основні дидактичні цілі використання нестандартних задач з мат-ки полягають у:

• створенні дидактичних ситуацій, спрямованих на збагачення математичного матеріалу завданнями нових типів, а саме, розвивального спрямування;

• стимулюванні концептуального, емоційного та мотиваційного складників особистості молодшого школяра під час розв'язування нестандартних задач;

• розвитку пошукових структур мисленнєвої діяльності на математичному матеріалі завдяки підсиленню, активізації логічної складової.

Складність нестандартної задачі залежить від багатьох чинників, з-поміж яких назвемо суб'єктивний (вік дітей, рівень розвитку їхньої пізнавальної діяльності, наявність математичних здібностей, досвіду творчої діяльності) та об'єктивний (стандарти математичної освіти, зміст програми, наявність навчально-методичної літератури).

Технологія складання нестандартних задач полягає у:

а) визначенні параметрів задачі, які покладаються в основу її сюжетної лінії. Наприклад, відстань між двома населеними пунктами; числа; зріст дітей; довжина відрізків; вік хлопчика і дівчинки тощо. Диференціація параметрів для нестандартної задачі пов'язана також із тими функціями, які вони виконують під час складання і розв'язування задач, а саме із забезпеченням предметної та логічної складових задачі;

б) виборі зв'язків між обраними параметрами, що визначається конкретною темою, дидактичним навантаженням завдань;

в) складанні тексту задачі, структурно цілісного з чітко сформульованою сюжетною лінією.

При́нцип Діріхле́(також принцип коробок Діріхле, принцип голубів і кліток ) - комбінаторне твердження, сформульоване німецьким математиком Петером Діріхле.

Найбільш поширене наступне формулювання цього принципу: Припустимо, деяке число кроликів розсаджені в клітках. Якщо число кроликів більше, ніж число кліток, то хоч би в одній з кліток буде більше одного кролика.

Більш загальне формулювання: Припустимо, m кроликів розсаджені в n клітках. Тоді, якщо m > n, то хоч би в одній клітці міститься не менше   кроликів, а також хоч би в одній іншій клітці міститься не більше   кроликів.

У рамках більш абстрактних понять: Нехай задана функція   і потужність множини   більше потужності  . Тоді функція   не є ін'єктивною.

Можливі також формулювання для окремих випадків, наприклад:

Якщо число кліток більше, ніж число кролів, то принаймні одна клітка порожня.

Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших) та розв’язанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.  Теорема Чеви використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розв’язанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін. Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розв’язанні досить складних задач.