Глава 2.

2. Практическая часть

Рассмотрим примеры расчета параметров одноканальных и многоканальных СМО с отказами.

Одно ка­нальная СМО содержит один канал (n = I), и на ее вход посту­пает пуассоновский поток заявок П_вх, интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП_вх = . Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо записывают (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т_об распределено по показательному закону и за­писывается в виде: , где - интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занято­стью ее канала, т. е. двумя состояниями: s0 — канал свободен и простаивает, s1 — канал занят. Переход системы из состояния s0 в состояние s1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок П_вх, а из состояния s1, в состояние s0 систему переводит поток обслуживании П_об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого по­сле данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния s0 в s1 и обратно равны соответственно и .

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживав только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s0 — все п каналов свободны; s1 — занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; Si - заняты i каналов, (п—i) каналов свободны; Sn —заняты все п каналов.

Пользуясь общим правилом составления дифференциалы уравнений Колмогорова, можно составить системы дифференциальных уравнений:

а) например, для одноканальной СМО имеем:

6) для многоканальной СМО соответствен имеем:

Решив первую систему уравнений, можно найти значения p₀(t) и p₁(t) для одноканальной СМО и построить графики (рис.7.3, а-в) при трех случаях: 1) ; 2) ; 3) . Можно также определить предельную пропускную способность СМО (рис. 7.3, г).

Теперь осуществим оценку эффективности деятельности субъектов рынка:

Пример 1. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью μ = 0,6 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток выозовов клиентов с интенсивностью λ = 0,3 вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа P_отк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

Решение: Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, характеризующаясями параметрами – интенсивностью входящего потока обслуживания inП_вх = = 0,3 и интенсивностью потока обслуживания inП_об = μ = 0,6, то по формуле:

можно определить вероятность отказа так:

P_отк = = = 0,333, или 33,3%, т.е. в установившемся предельном режиме из каждых 100 заявок в среднем 3 получат отказ.

Далее определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО, используя формулу:

Q = 1 - P_отк = 1 – 0,333 = 0,667;

A= λ * Q =0,3*0,667=0,2.

Итак из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговора пораждают ситуацию, что абсолютная пропускная способность A= 0,2 разговора/мин в три раза меньше производительности телефонной линии μ = 0,6 вызова/мин (0,6:0,2 = 3).

Определим:

а) среднее время обслуживания (в мин) Т_об :

Т_об= = = 1,66 мин;

б) среднее время простоя канала (в мин) Т_пр :

Т_пр= = = 3,33 мин;

в) вероятность того, что канал свободен :

P₀= = = 0,2.

Или P0= = =0,666,

в) вероятность того, что канал занят P₁:

P₁= 1 – P₀ = λ/(λ+μ) = 0,334,

Или P₁= Т_об / (Т_об + Т_пр ) = 1,66 / (1,66+3,33) = 0,332.

Таким образом, вероятность того, что канал занят, ментше вероятности того, что канал свободен, т.е. P₁ < P₀, и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока λ = 0,3 меньше интенсивности производительности канала μ = 0,6.

Пример 2. Пусть филиал фирмы по ремонту радиоаппа­ратуры имеет n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт  =10 радио­аппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт ап­паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче­редь каждый аппарат в зависимости от характера неисправ­ности также требует различного случайного времени на ре­монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мас­тера и множества других причин. Пусть статистика показа­ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за­кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать  = 2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту радио­аппаратуры, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

Решение: За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

 = * = 10* = 4,

так как  < n, то очередь не может расти безгранично.

2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна :

P₀= 0,013.

3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом:

P_n= = 0,554

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за­гружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата:

Т_об = = = 2,8 ч/аппарат

(при условии семичасового рабочего дня).

5. В среднем время ожидания каждого неисправного аппа­рата начала ремонта равно:

t_ож= = 1,55 ч.

6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта:

7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра­боты:

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.