3.5. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Числовые характеристики дают оценки искомого параметра, наиболее близкие к истинному значению. Для практики важно не только получить оценку параметра, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной вероятностью, называемой доверительной, находится истинное значение оцениваемого параметра:

,

где p – уровень значимости, определяющий вероятность ошибочности выдвинутой нуль-гипотезы: истинный размер находится в интервале от до .

Для определения доверительного интервала надо знать оценку среднего квадратичного отклонения , которой является , где - несмещенная оценка одномоментного среднего квадратичного отклонения - определяется по формуле (3.18) ; – общее число многократных измерений.

При нормальном законе распределения доверительному интервалу отвечает доверительная вероятность = 68,3%; интервалу - вероятность = 95%; интервалу - вероятность = 99,7%.

В общем случае при доверительной вероятности границы доверительного интервала при симметричном положении относительно будут отстоять от на величину , где – аргумент функции Лапласа, отвечающей уровню значимости . Поэтому доверительный интервал при нормальном законе распределения запишется так:

. (3.21)

Например, при доверительной вероятности = 0,95 (95%) и = 0,025 (2,5%), т.е. = 0,5 – 0,025 = 0,475 и t = 1,96. В этом случае доверительный интервал составит:

.

Такой способ оценки применим при нормальном законе распределения погрешностей результатов измерения и большом количестве опытов. При малом количестве опытов (n < 20…30) и нормальном законе распределения величина дисперсии (среднего квадратичного отклонения) отличается от значения, даваемого законом Гаусса. В таких случаях оценку границ доверительного интервала производят с привлечением распределения Стьюдента, которое описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента):

.

Отсюда следует, что отклонение среднего значения результата измерения от истинного значения (математического ожидания) m_x составит t_p , где t_p – коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице (см. табл. 3.1).

Из табл. 3.1. видно, что уже при > 20…30 распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение.

Распределением Стьюдента пользуются практически при всех законах распределения погрешностей, но при этом степень приближения остается неизвестной.

3.6. Прямые многократные измерения

Рассматриваются многократные независимые и равноточные измерения. Оценкой истинного значения измеряемой величины Х при многократных измерениях является его среднее значение с внесенной поправкой на систематическую погрешность СИ. Другими словами, оценкой истинного значения измеряемой величины Х является исправленное значение среднего . Поэтому важно оценить и исключить систематическую погрешность из результатов измерений. Для этого:

- устраняют источники систематических погрешностей до измерений;

- определяют поправки и вносят их в результат измерений;

- оценивают границы неисключенных систематических погрешностей.

Таблица 3.1.

Распределение Стьюдента

	Доверительная вероятность						Доверительная вероятность
	0,90	0,95	0,98	0,99	0,999		0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
2	6,31	12,71	31,82	63,68	636,62	12	1,80	2,20	2,72	3,11	4,44
3	2,92	4,30	6,97	9,93	31,60	13	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
4	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92	14	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22
5	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61	15	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
6	2,02	2,57	3,37	4,06	6,87	16	1,75	2,13	2,60	2,95	4,07
7	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96	17	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
8	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41	18	1,74	2,11	2,57	2,90	3,97
9	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04	19	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92
10	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78	20	1,73	2,09	2,54	2,86	3,88
11	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59		1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

Оценка результата многократного измерения и его доверительного интервала.

При многократных независимых равноточных измерениях результат отдельного (i-го) измерения будет включать в себя случайную погрешность . Ввиду неопределенности значения и знака ( ) истинное значение будет содержать некоторую оценку случайной погрешности среднего значения результата многократных измерений:

, (3.22)

где - случайная погрешность среднего значения измеряемой величины Х. Знак указывает на то, что формула (3.22) оценивает лишь интервал значений случайной погрешности, т.к. точное значение определить невозможно.

Оценку значения производят по формуле:

, (3.23)

где - среднее квадратичное отклонение среднего значения ; - коэффициент Стьюдента при уровне значимости р и числе степеней свободы .

Результат многократного измерения записывается по одной из форм:

(3.24)

(3.25)

Форма представления (3.24) предполагает, что систематические погрешности или исключены до измерений, или внесены в результаты измерений и абсолютная погрешность состоит лишь из случайной погрешности, т.е. . При представлении по форме (3.25) абсолютная ошибка содержит в себе как случайную, так и неисключенную систематическую погрешность . При этом оценка абсолютной ошибки производится по одной из следующих формул: