I система :

де – незалежні компоненти поля ТЕ – хвилі. Для цієії хвилі характерною рисою є наявність компоненти магнітного поля вздовж напрямку розповсюдження.

Iі система :

Для другої системи незалежними компонентами поля є . Це – ТМ - хвилі, для яких характерною рисою є наявність електричного поля вздовж напрямку розповсюдження. Одержимо тепер рівняння розповсюдження для ТЕ - та ТМ - хвиль.

Для ТЕ - хвиль в системі І виразимо та через з першого та другого рівнянь. Одержимо рівняння Гельмгольца для ТЕ - хвиль:

(2)

Аналогічно, виражаючи з другої системи через , одержимо хвилеве рівняння для ТМ - хвиль:

(3)

У рівняннях (2), (3) .

Знайдемо тепер рішення систем (2) та (3). Розглянемо для прикладу ТЕ - хвилі. Розв'язок системи (3) для ТМ хвиль знаходиться аналогічно. Наша задача – знайти аналітичний вираз для амплітуди неоднорідної плоскої хвилі вздовж координати . Така хвиля має компоненти . Візьмемо шуканий розв’язок для електричного поля у вигляді . Використоавуючи систему рівнянь І для ТЕ – хвилі, компоненти магнітного поля запишуться автоматично:

Поперечну функцію , власне амплітуду неоднорідної плоскої хвилі, необхідно вибирати так, щоб на границях плівки з підкладинкою та покрівельним шаром виконувались граничні умови (рівність тангенціальних компонент електричного та магнітного полів). Нам вже відомо, що поза хвилеводним шаром рішення (розв’язок ) має бути у вигляді згасаючої експоненційної функції, а в самій плівці рішення (2) і (3) в напрямку координати утворюють стоячу хвилю і мають гармонічний характер. Враховуючи ці зауваження, функцію можна вибрати у вигляді:

(4)

В (4) А, В, С, D, q, t, p – сталі, які визначаються умовами збудження на границях. Їх явний вигляд обумовлюється неперервністю функцій та

. Звичайно, це справедливо при  та  сталих. Таким чином, ми маємо чотири граничних умови для планарного хвилевода: дві на границі плвка –покрівельний шар (для поля та його похідної) та дві на границі плівка-підкладинка. Застосовуючи для (4) три граничних умови (дві на границі з покрівельним шаром ) та для поля на границі з підкладинкою, виразимо поле через одну невідому константу :

(5)

Константу визначимо пізніше з умов нормування інтенсивності світла, що переноситься по хвилеводу. Визначимо тепер константи q, p, та t.

Поперечна функція має задовольняти хвилевому рівнянню у всіх трьох областях, . Запишемо хвилеве рівняння у всіх трьох областях.

а). Для покрівельного шару (підставляємо функцію розподілу поля для цього шару в хвилеве рівняння) одержимо:

- стала згасання моди в покрівельному шарі.

в). Для хвилеводного шару:

- поперечна складова хвилевого вектора в хвилеводному шарі; утворює стоячу хвилю.

c). Для підкладинки:

- стала згасання моди в підкладинці.

Таким чином, з хвилевого рівняння ми отримали важливі співвідношення між сталою розповсюдження ( або ефективним показником заломлення ) та параметрами хвилеводу, покрівельного шару та підкладинкою.

Слід зауважити, що на цьому етапі розв’язку рівнянь Максвелла не зовсім коректно вводити ефективний показник заломлення . Це можна зробити після одержання дисперсійного рівняння , коли неоднорідні плоскі ТЕ та ТМ хвилі утворюють дискретний спектр ТЕ_m та ТМ_m мод.

Отже, поперечна функція вибрана таким чином, що на границі з підкладинкою ( x = -h ) та покрівельним шаром x=0, граничні умови для електричних (5) та магнітних (похідна ) полів на границі плівка –покрівельний шар тепер виконуються автоматично. Залишилась невикористаною одна гранична умова для , тобто для похідної на границі плівка-підкладинка. Використовуючи цю умову, отримаємо дисперсійне рівняння:

Знаходячи значення цієї рівності на границі при x = -h, та поділивши ліву та праву частини рівності на , одержимо:

(6)

Запишемо це дисперсійне рівняння для ТЕ хвилеводних мод в іншому вигляді:

(6’)

З тригонометрії відомий вираз

Остаточно (6’) запишеться в вигляді:

Отже, одержимо дисперсійне рівняння, що повністю співпадає з раніше отриманим за допомогою променевої моделі:

(6)

Виконуючи ту ж саму процедуру для ТМ_m хвилеводних мод, отримаємо аналогічне дисперсійне рівняння:

, (7)

де ;

Спільне дисперсійне рівняння для ТЕ_m - та ТМ_m – мод можна записати у такому вигляді:

При R=0 – TE , R=1 – TM моди.

Ми одержали відоме дисперсійне рівняння. Але крім цього ми тепер знаємо конкретний розподіл поля у всіх трьох шарах. Що до сталої С^’ , то вона, в принципі, може бути довільною, але на практиці, коли в процесі взаємодії різні моди ( більше ніж одна ) обмінюються енергією, зручно визначити сталу С^’ таким чином, щоб вона представляла собою сумарну потужність моди. Виберемо С^’ таким чином, щоб поле відповідало потоку потужності 1Вт ( на одиницю ширини в напрямку Y в моді. При цьому моді буде відповідати потік потужності |А ²| Вт/м². Умова нормування при цьому набуває вигляд:

,

де індекс відноситься до - ої ТЕ моди ( що відповідає -му власному значенню виразу (5), а . Підставляючи сюди значення полів, після простих викладок одержимо:

Очевидно, що потік вектора Умова-Пойнтінга в напрямку координати -відсутній.

Планарні хвилеводи являються базовими елементами для пристроїв інтегральної оптики: високошвидкісних модуляторів оптичного випромінювання, багатохвильових мультиплексорів, оптичних перемикачів, магнітооптичних невзаємних пристроїв, демультиплексорів і т.ін. Крім планарних хвилеводів, широке застосування в інтегральній оптиці набули канальні хвилеводи. Технологія виготовлення таких хвилеводів добре освітлена в [1]. На відміну від планарного хвилевода, стояча хвиля в площині утворюється внаслідок подвійного поперечного резонансу. Власні оптичні моди позначаються для канальних хвилеводів ТЕ_mn та ТМ_mn. На жаль проста конструкція канального хвилевода не має точного математичного рішення. Якщо розміри хвилевода в напрямку координати значно перевищують відповідні розміри в напрямку координати , можна в першому наближенні використовувать розрахунки для планарного хвилевода. Для розрахунку довільних канальних хвилеводів існують добре розвинуті чисельні методи [2].

МАГНІТООПТИКА