Движение тела переменной массы

Пусть в некоторый момент времени t масса движущегося тела равна т , а присоединяемое или отделяемое вещество имеет скорость относительно данного тела. Выберем К-систему отсчёта, скорость которой равна скорости тела в начальный момент времени.

Пусть за промежуток времени dt тело приобретает в К-системе импульс за счёт действия силы со стороны окружающих тел и вследствие присоединения (отделения) массы δт , которое приводит к изменению массы тела на dm .

Тогда или

Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы или уравнением Мещерского.

Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчёта, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчёта.

– реактивная сила.

Если масса присоединяется, то и вектор совпадает по направлению с вектором . Если масса отделяется (ракета), то и противоположен вектору .

В случае ракеты при отсутствии внешних сил (F = 0)

и получаем формулу Циолковского

, где

т₀ – масса ракеты в момент старта;

т; υ – масса и скорость ракеты через время t после начала работы реактивного двигателя.

Согласно этой формуле скорость ракеты растёт неограниченно.

Если бы вся масса топлива была мгновенно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость ракеты была бы ограничена.

Лекция 3 Закон сохранения момента импульса

Моментом силы относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина , равная векторному произведению

, где

– радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А приложения силы.

По модулю момент силы равен , где

– плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Главным моментом (результирующим) системы сил относительно точки О называется вектор , равный векторной сумме моментов относительно точки О всех сил системы

.

Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О (полюса) называют вектор

, где

т_i и – масса и скорость материальной точки.

Моментом импульса системы относительно неподвижной точки О называют векторную сумму моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:

.

Если твёрдое тело вращается с угловой скоростью вокруг точки О , то момент импульса тела относительно неподвижной точки О

. где

– радиус-вектор, проведённый из точки О в малый элемент тела массой dm ;

– скорость этого элемента тела.

Поскольку – векторы и в общем случае не совпадают по направлению

.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси OZ называется физическая величина J_Z , равная

, где

m_i и R_i – масса i–й точки и её расстояние от оси OZ.

Момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси OZ

, где

dm = ρ^.dV – масса малого элемента тела объёмом dV;

ρ – плотность материала твёрдого тела;

R – расстояние от элемента dV до оси OZ.

Если тело однородно, т.е. его плотность всюду одинакова, то

.

Момент инерции тела J_Z является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси OZ подобно тому как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела J_O относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции тела J_С относительно оси С, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

J_O = J_C + m^.а ² .

Доказательство теоремы:

Пусть положение i-го элемента твёрдого тела относительно осей О и С характеризуется векторами и , а положение оси С относительно оси О – вектором , плоскость которого перпендикулярна осям О и С . Воспользовавшись связью между этими векторами , преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом:

, или

.

В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела J_C i-го элемента твёрдого тела относительно оси С, а последняя сумма равна m^.а ². Покажем, что средняя сумма равна нулю.

Пусть – радиус-вектор i-го элемента твёрдого тела относительно центра масс, тогда относительно центра масс суммарный вектор . Но – это составляющая вектора , перпендикулярная осям О и С . Очевидно, что если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С , также равна нулю, т.е. и теорема доказана.

Моменты инерции некоторых однородных твёрдых тел:

Тело	Положение оси	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиуса R и массы т	Ось обруча или цилиндра	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R и массы т	Ось цилиндра или диска
Шар радиуса R и массы т	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы т	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длины l и массы т	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец