2 Ортонормований базис в евклідовому просторі

В евклідовому просторі вектор називається нормованим, якщо його довжина рівна одиниці.

Припустимо, що в – мірному евклідовому просторі існують попарно ортогональних векторів, що мають одиничні норми, тобто при . Покажемо, що ці векторів утворюють базис – мірного простору (ортонормований базис). Для цього потрібно довести, що вектори …, лінійно незалежні. Припустимо, що , де – деякі доки невідомі дійсні числа. Помножимо обидві частини цієї рівності скалярно на вектор , отримаємо . Так як , , то число =0. Аналогічним чином встановлюється, що . Отже, рівність можливо лише, коли , а це значить, що вектори …, лінійно незалежні.

Покажемо тепер, що ортонормовані базиси існують в евклідовому просторі. Нехай який –небудь базис – мірного евклидового простору. Побудуємо за допомогою цього базису ортонормований базис простору. Покладемо . Із векторів і утворюємо вектор . Число візьмемо таким, щоб . Маємо . Звідси, , а . Покладемо . Одиничний вектор ортогональний вектору . Побудуємо тепер допоміжний вектор . Підберемо числа і так, щоб . Для визначення цих двох чисел маємо рівняння . Слідує, , а Одиничний вектор , очевидно, ортогональний одиничним векторам і .

Продовжуючи процес створення попарно ортогональних одиничних векторів ,… (процес ортогоналізації), побудуємо за кінцеве число кроків ортонормований базис – мірного евклідового простору:

,

, ,

, ,

…

, .

Відмітимо, що різних ортонормованих базисів евклідового простору нескінченно багато, оскільки нескінченно багато базисів , з якого процесом ортогоналізації можна створювати ортонормовані базиси.

Нехай – який-небудь ортонормований базис евклідового простору, а и – два довільно взятих вектора цього простору. Представимо кожен з векторів у вигляді лінійної комбінації базисних . Найдемо , вважаючи відомими координати векторів і в ортонормованому базисі. Маємо . Тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат в ортонормованому базисі.

3 Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів

Нехай – який-небудь підпростір евклідового простору . Множина всіх векторів простору , ортогональних кожному вектору підпростору , називається ортогональним доповненням підпростору відносно простору . Покажемо, що множина являється підпростором простору . Для цього потрібно переконається, що сума двох будь-яких векторів множини належить цій множині і що добуток будь-якого вектору множини на довільне дійсне число також належить множині . Нехай і – два довільні вектори множини , а – який-небудь вектор підпростору . Очевидно, і по властивості векторів безлічі . Так як , то . Для довільного числа маємо . Отже і вектор . Таким чином, множина являється підпростором евклідового простору .

З'ясуємо, чи існують взагалі вектори підпростору и . Нехай і , тоді , тобто . Отже, підпростір і не мають спільних векторів, окрім вектора простору . Звідси витікає, що сума цих підпросторів є прямою. Нескладно сказати, що .

Евклідові простори і називаються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таку взаємно-однозначну відповідність, що , , де – зразки векторів і простору .

Теорема. Всі евклідові простори однієї розмірності ізоморфні.