3. Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

2. А + О = О + А = А;

3. А + (-А) = (-А) + А = О;

4. А + В = В + А (комутативність);

5. А = А;

6. (А + В) = А + В;

7. ( + ) А = А + А;

8. ( А) = ( ) А

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел , ).

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1. А + (В + С) = +

= =

=

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

7.

=

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел).

1.5. Символи суми

Суму позначають через , де і називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1). ;

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2). (адитивність);

3). (однорідність);

де – будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума S всіх елементів даної таблиці дорівнює

S =

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку матриць і розмірів і , відповідно, записується наступним чином:

.

1.6. Властивості множення матриць

1. Множення матриць не є комутативним, тобто існують такі матриці А і В, для яких АВ ≠ ВА.

Наприклад,

2. (АВ)С = А(ВС) для довільних матриць А, В, С, для яких існують добутки АВ і ВС (асоціативність).

Справді, нехай А має розмір Покладемо АВ = U і ВС = V. Зрозуміло, що U має розмір а . Тоді нам треба довести, що UС = АV. Доведемо це.

Елемент добутку UС дорівнює

але , тобто

елемент добутку UС (використана властивість 3 символу суми).

Знайдемо тепер елемент добутку АV.

(використана властивість 3 символу суми).

Використавши властивість 4 подвійних сум, матимемо, що UС = АV.

3. якщо і мають однаковий розмір та існує ;

, якщо А і В мають однаковий розмір та існує АС

(дистрибутивність).

Доведемо першу рівність за вказаних умов. Нехай А має розмір а В і С - . Тоді елемент добутку А (В + С) дорівнює

Елементи добутків АВ, АС дорівнюють відповідно,

.

Тому елемент матриці АВ + АС дорівнює

(тут була використана властивість 2 символу суми – адитивність).

Отже, відповідні елементи матриць А (В + С), АВ + АС рівні. Тому перша рівність доведена. Друга рівність доводиться аналогічно.

4. АЕ = ЕА = А,

де А - квадратна матриця, а Е - одинична матриця того ж порядку n.

Справді, елемент добутку АЕ дорівнює

а елемент добутку ЕА дорівнює

5. Якщо квадратна матриця А має обернену матрицю, то обернена матриця єдина.

Справді, нехай В і С – обернені до А матриці. Тоді

АВ = ВА = Е і АС = СА = Е.

Тоді

С = СЕ = С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В

(тут використані властивості 4, 2 множення матриць).

6. Якщо квадратні матриці А і В мають обернені, то

і

(перевірити самостійно !)