3.3. Зведення до жорданової форми нижніх трикутних матриць другого порядку

Будемо використовувати результати пункту 1.9. Нехай маємо матрицю виду

.

Зведемо її до жорданової форми. Нехай

Тоді

Розглянемо наступні випадки:

1. 

Відповідно до твердження п. 1.9 нам потрібно знайти такі і , для яких і матриця має жорданову форму. Для цього необхідно зробити або . Покажемо, що можна зробити рівним 0. Оскільки верхній рядок матриці А в такому разі змінювати не потрібно, то покладемо Нам потрібно знайти такий вектор щоб і

Оскільки то не повинно дорівнювати 0. Далі,

Далі,

Тоді

Оскільки , то з останнього рівняння системи маємо, що Тоді з першого рівняння випливає

Отже, Оскільки то можемо покласти тоді . Тому Отже, на підставі твердження п. 1.9 де С визначається з рівностей

тобто а .

2. Нехай .

Випадки:

1. .

Тоді матриця А вже має жорданову форму.

2. . Тоді

Помножимо останнє рівняння на число

Тоді

Якщо ввести перепозначення:

то

На підставі твердження п 1.9 матимемо, що де

3.4. Власні значення та власні вектори квадратної матриці другого порядку

Число (комплексне) називається власним числом квадратної матриці , якщо існує такий ненульовий вектор-рядок , що

. (1)

Ненульовий вектор називається власним вектором матриці А, якщо

для деякого власного значення матриці А.

Рівність (1) еквівалентна рівності де яка еквівалентна такій рівності

де .

Теорема. Для того, щоб число було власним значенням, необхідно і достатньо виконання рівності

Необхідність. Нехай - власне значення, тоді для деякого власного вектора , тобто Оскільки то це означає, що система

має ненульовий розв¢язок. Тому Оскільки визначник при транспонуванні не змінюється, то

Достатність. Доведення достатності проводиться в зворотному порядку.

Проведіть його самостійно! (Див. наслідок п. 2.1).

Теорему доведено.

Рівняння відносно невідомого називається характеристичним рівнянням матриці А. З нього знаходимо власні значення. Зрозуміло, що

Отже, характеристичне рівняння можна записати і так

Для знаходження власних векторів матриці А потрібно розв¢язати систему

тобто

для кожного власного значення , і вибрати ненульові розв¢язки, які існують в силу

Зауваження 1. Оскільки кожне квадратне рівняння має два комплексні розв¢язки, якщо врахувати їх кратність, то матриця А має або два різні, або два однакові власні значення. Тому матриця А завжди має власні вектори (тут враховуємо також для власного значення ).

Зауваження 2. Характеристичні рівняння подібних матриць однакові. Справді, нехай Тоді

Приклад. Нехай Тоді – характеристичне рівняння. Зрозуміло, що – множина усіх власних значень матриці А.