2. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Основная идея 2МНК состоит в замене матрицы в правой части (5) матрицей оценок (матрицей значений регрессий). Благодаря этому содержащиеся в матрице переменные приобретают характер некоррелированных переменных, и применение метода наименьших квадратов даст удовлетворительные результаты.

Первый этап применения 2МНК заключается в определении матрицы значений регрессий . Для достижения этой цели строится приведенная форма коррелированных переменных матрицы :

(6)

Однако для построения приведенной формы (6) должны быть заданы все некоррелированные переменные модели. Матрица значений регрессий получается из (6) путем преобразования:

(7)

Значения регрессий матрицы независимы от возмущающих переменных приведенной и структурной форм, так как они являются линейными функциями только от некоррелированных переменных. Таким образом, отдельные уравнения (7) представляют собой множественную регрессию, для которой выполняется предпосылка: независимые переменные не должны коррелировать с возмущающей переменной (независимые переменные объясняют зависимую переменную, но зависимая переменная не объясняет независимые переменные).

Метод наименьших квадратов может применяться для оценивания матрицы . В соответствии с (2) имеем:

(8)

Подставляя (8) в (7), получим матрицу значений регрессий:

(9)

Первый этап 2МНК завершен.

На вором этапе 2МНК матрицу в (5) заменяют матрицей .

При этом следует учитывать, что по (7) . Итак,

или, учитывая что

(10)

(11)

В полученном уравнении в правой части находится только некоррелированные независимые переменные, так как матрица содержит только некоррелированные переменные, а элементы матрицы некоррелированы благодаря (9). При этом значения регрессий больше не коррелируют с остатками . Таким образом, выражение (11) представляет собой уравнение множественной регрессии, для которого выполняется предпосылка о некоррелируемости переменных с остатками. Неизвестные параметры регрессии и могут быть оценены с помощью метода наименьших квадратов. Остатки (11) при этом не являются больше остатками -го структурного уравнения.

Двукратное применение метода наименьших квадратов можно представить в виде одной формулы . Для этого образуем систему нормальных уравнений регрессии (11). Если положить

(12)

то (11) можно представить в виде:

(13)

Тогда в соответствии с (1) получим систему нормальных уравнений:

(14)

Подставив (12) в (14) придем к выражению:

(15)

Используя (9) для можно записать уравнения для вычисления оценок двухшагового метода наименьших квадратов:

(16)

Формула (16) представляет собой результат применения двухшагового метода наименьших квадратов к -му структурному уравнению. Легко видеть, что матрица значений регрессий , полученная на первом этапе применения метода, не содержится в (16) в явном виде. В формулу входят только матрицы и векторы наблюдений.

Преимущество двухшагового метода заключается, во-первых, в том, что он применим к сверхидентифицированным уравнениям, и, во-вторых, в том, что нерассмотренные нами структурные уравнения модели не должны быть точно специфицированы. Разумеется, должны быть известны все независимые переменные модели, и указаны результаты наблюдений над ними.