15.Геометричні перетворення

Програма і підручник передбачають вивчення геомет­ричних перетворень у курсі планіметрії за два етапи. Рухи роз­глядають у 8 класі, а подібність фігур - у 9 класі.

Основна мета вивчення геометричних перетворень - озна­йомити учнів з різними видами рухів (осьова і центральна симет­рія, поворот, паралельне перенесення) та подібністю і гомоте­тією, їх властивостями, ввести загальне поняття про рівність і подібність фігур, показати застосування окремих видів перетво­рень, ознак подібності трикутників до розв'язування задач.

Учні повинні розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів геометричних перетворень, знати їх властивості, ознаки подібності трикутників і вміти застосовувати їх до розв'язування найпростіших задач.

Система введення понять теми «Рухи» залежить від місця цієї теми в загальній структурі курсу планіметрії і, зокрема, в підручнику.

Поняття перетворення фігури доцільно ввести описово на на­очному, інтуїтивному рівні.

Поняття руху вводиться на рівні означення. В цьому разі у використовується поняття перетворення: перетворення од­нієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки Xі Yоднієї фігури в точки X’ і Y’ іншої фігури так, що ХY= X’Y’. Тут доціль­но скористатися рухомими планіметричними моделями. Відтак рух означається як відображення площини на себе, яке зберігає відстань між точками.

Різними методичними підходами можна послуговуватися, вводячи поняття центрально-симетричних і симетричних відносно даної прямої точок.

Означення фігури, симетричної відносно даної точки і цент­рально-симетричної фігури, не викликають труднощів, якщо про­ілюструвати такі фігури різноманітними прикладами. При цьому треба навести приклади не тільки центрально-симетричних гео­метричних фігур (пряма, відрізок, коло, паралелограм), а й різно­манітних орнаментів, наприклад таких.

При введенні поняття фігури, симетричної відносно даної точ­ки і даної прямої, важливо, щоб учні навчились будувати точку, відрізок, промінь, пряму, трикутник, ко­ло, кут, паралелограм тощо, симетричні відповідним фігурам відносно точки і від­носно прямої. Слід звернути увагу учнів на те, що оскільки положення прямої і відрізка задається двома будь-якими точ­ками (променя - початковою точкою і будь-якою іншою його точкою, кола -центром і будь-якою його точкою, три­кутника - положенням його вершин і т. д.), то для побудови симетричної фігу­ри досить побудувати точки, симетричні тим, які визначають положення фігури. При навчанні побудови симетричних точок відносно точки і пря­мої доцільно формулювати алгоритми.

Деякі учні плутають поняття «фігури, симетричної відносно точки (прямої)» і «центрально-симетричної фігури», що містять вісь симетрії (симетричної відносно прямої). Отже, треба наголо­сити, що в першому випадку йдеться про дві фігури, а в другому -про одну фігуру, яка при перетворенні симетрії переходить в себе.

Важливо виділити достатні умови, при яких задається центра­льна і осьова симетрії. Щоб задати центральну (осьову) симетрію, досить указати: 1) центр (вісь) симетрії або 2) дві відповідні точ­ки. У другому випадку неважко побудувати центр і вісь симетрії.

При введенні поняття повороту варто підкреслити, що будь-який поворот може бути заданий: 1) центром О, кутом повороту а ( ), напрямом повороту або 2) центром повороту і двома відповідними точками Xі X'. У цьому разі ефективно ско­ристатися рухомою моделлю.

Паралельне перенесення дуже часто використовується в ма­тематиці та її застосуваннях в інших науках та практиці. Зокрема, в алгебрі і математичному аналізі паралельне перенесення і симет­рії використовуються при побудові графіків складних функцій, у кресленні при побудові різноманітних фігур. Перш ніж вводити означення паралельного перенесення, корисно спочатку проде­монструвати цей вид руху на рухомій планіметричній моделі, виготовленій з картону і кальки. Це дасть змогу учням помітити суттєву ознаку паралельного перенесення (це перетво­рення, за якого точки зміщуються в одному й тому самому на­прямі на ту саму відстань). Проте учнів треба переконати в необ­хідності формулювання строгого математичного означення, в якому не вживалось би поняття «в одному й тому самому напря­мі», оскільки воно само потребує означення. Означення доцільно ввести вчителеві і проілюструвати його прикладами.

Перетворення подібності. Тема «Подібність фігур», у складі якої вивчається перетворення подібності, в умовах ро­боти за підручником О. В. Погорєлова має не тільки теоретичне значення, оскільки тут вивчається важ­ливе відношення фігур, а й політехнічну, прикладну спрямова­ність. Справді, подібність і гомотетія широко використовуються в фото- і кіносправі, картографії, архітектурі, машино- і приладо­будуванні, де доводиться моделювати об'єкти, та в інших галузях практики. Подібність вивчається в 9 класі, а не разом з рухами.

Можливі різні методичні підходи до вивчення теми «Подіб­ність фігур». Оскільки відношення подібності фігур є узагаль­ненням відношення рівності, а перетворення подібності є уза­гальненням руху, то природно означення подібних фігур і ви­вчення їх властивостей пов'язати з перетворенням подібності. За такого підходу немає потреби спеціально означати подібні три­кутники. Вони вводяться як окремий випадок подібних фігур.

тему «Подібні трикутники» перед­бачено вивчати у 8 класі. Тут вводять спеціальне означення по­дібних трикутників, доводять ознаки їх подібності і розглядають питання застосування подібності трикутників до доведення тео­рем і розв'язування задач, у тому числі практичного змісту. На­решті, вводиться поняття про подібність довільних фігур. Відпо­відне означення формулюється так: фігури Fі F₁називаються подібними, якщо кожній точці фігури Fможна поставити у відповідність точку фігури F₁так, що для будь-яких двох точок М і N фігури Fі відповідних їм точок М₁і N₁фігури F₁виконується умова , де k- одне й те саме додатне число для всіх точок. В цьому разі припускається, що кожна точка фігури F₁зіставляється з якою-небудь точкою фігури F. В умовах чинної програми і підручника внаслідок вивчення теми учні повинні знати означення перетворення подібності, гомотетії, подібних фі­гур, властивості перетворення подібності, вміти доводити ознаки подібності трикутників і-застосовувати їх до розв'язування задач.

Провідними поняттями теми є поняття перетворення подібно­сті ігомотетії, подібних фігур. У цій темі вивчаються також важ­ливі для дальшого засвоєння курсу поняття кутів, пов'язаних з колом: центральний і вписаний кути, плоский і доповнювальний кути.

Найважчим з погляду сприймання учнями і методики вивчен­ня є поняття перетворення подібності. Якщо учні засвоять це по­няття, то означення подібних фігур як таких, які переводяться одна в одну перетворенням подібності, не призведе до труднощів.

Можливі такі методичні варіанти введення поняття перетво­рення подібності: 1) учитель сам формулює означення й ілюструє його прикладами (абстрактно-дедуктивний метод); 2) учнів спо­чатку підводять до введення означення на відомих з життєвого досвіду прикладах (конкретно-індуктивний метод).

Розпочати можна з введення терміна «подібні фігури», оскільки з ним учні неодноразово стикалися в життєвій практиці. Справді, вони не раз спостерігали однакові за формою і різні за розмірами фігури (одну й ту саму фотографію різних розмірів, репродукції картин, плани ділянок, географічні карти тощо). Спираючись на ці уявлення і розглянуті в класі приклади, учні можуть самостій­но сформулювати означення перетворення подібності. Доцільно спочатку пригадати вже відоме учням означення одного з пере­творень (руху) і ще раз звернути увагу на те, що при цьому пере­творенні зберігається відстань між двома точками даної фігури і відповідними точками фігури, одержаної внаслідок перетворення.

Корисно поставити перед учнями завдання сформулювати означення подібних фігур за аналогією з означенням рівних фі­гур Деякі з них вірогідно запропонують назвати подібними од­накові за формою і різні за розмірами фігури. Треба переконати учнів у неприйнятності такого означення.

Доцільно наголосити, що будь-які два кола подібні, і запропо­нувати учням навести ще один приклад фігур, які подібні одна до одної. Учні звичайно називають лише квадрати.

Слід звернути увагу учнів на те, що кожні дві гомотетичні фі­гури подібні, але не кожні дві подібні фігури гомотетичні. Гомо­тетія дає спосіб побудови подібних фігур і вважається заданою, якщо: 1) задано центр гомотетії О і коефіцієнт гомотетії к або 2) задано центр гомотетії О і дві відповідні точки Xі X’.

Відтак варто запропонувати учням виконати перетворення гомо­тетії трикутника, кола, квадрата. У класах з поглибленим вивченням математики доцільно ввести поняття гомотетії з від'ємним коефі­цієнтом і запропонувати виконати відповідні перетворення фігур.

Поняття вписаного і центрального кутів вводять або конкретно-індуктивним або абстрактно-дедуктивним методом. Означення плоского кута повинен ввести сам вчитель.

В умовах роботи за підручником вивчають доведення п'яти теорем, з яких важливіші ті, які стосуються ознаки подібно­сті трикутників і вимірювання вписаного кута. Крім того, дово­дять деякі твердження, які не названо теоремами, а саме: власти­вість перетворення подібності і її наслідки, властивість транзитив­ності відношення подібності фігур, співвідношення елементів прямокутних трикутників і властивість бісектриси трикутника ділити протилежну сторону на частини, пропорційні двом іншим сторонам. Останні твердження широко використовуються при розв'язуванні задач.

Після вивчення властивості перетворення подібності і власти­востей подібних фігур, що випливають з неї, треба конкретизува­ти їх для подібних трикутників, оскільки саме цю властивість доводиться часто використовувати при розв'язуванні задач. При цьому так само, як і для рівності трикутників, суттєвим є порядок запису вершин

П ід час вивчення ознак подібності трикутників варто знову нагадати відмінність між поняттями «означення подібних три­кутників» і «ознаки подібності трикутників».

Доведення трьох ознак подібності трикутників виконуються за однаковою схемою, на яку доцільно звернути увагу учнів, перш ніж братися до доведення:

Оскільки при доведенні всіх трьох ознак подібності трикутни­ків використовують ознаки рівності трикутників, треба заздале­гідь запропонувати учням повторити ознаки рівності.

При доведенні твердження про властивість бісектриси кута трикутника використовують ознаку подібності прямокутних три­кутників. Однак учням незрозуміло, як можна «додуматися» до додаткової побудови, що полягає в проведенні перпендикулярів з двох інших вершин трикутника до прямої, якій належить бісек­триса кута, проведена з третьої вершини. Тому можна запропону­вати учням доведення властивості бісектриси кута трикутника аналітичним методом з використанням відомої учням властивості прямої, паралельної стороні трикутника.

При розв'язуванні задач на побудову доцільно ввести правило-орієнтир методу подібності, розв'язавши спочатку задачу 1, а потім - задачу 2.

У систему задач на подібність фігур варто включити задачі практичного змісту на визначення висоти предметів (телеграфно­го стовпа, башти, ширини річки, відстані до неприступної точки). У зв'язку з визначенням висоти, наприклад, стовпа доцільно по­казати учням два способи: 1) за допомогою жердини; 2) за допомогою люстерка.