17.Геометричні величини в курсі планіметрії

Поняття «величина» і місце величин в шкільному курсі математики. Поняття величини, як і поняття числа, є одним з провідних у шкільному курсі математики і суміжних предметів природничого циклу (фізика, хімія, біологія), трудового навчання, спеціальних та загальнотехнічних дисциплін в професійно-технічних училищах, технікумах. Зміст загального поняття «величина» не піддається розкриттю ні через означення, ні через систему аксіом (непрямий спосіб), ні описанням суттєвих ознак. Непрямому означенню через систему аксіом піддаються лише класи окремих величин, зокрема скалярних і векторних величин.

Узагальненням додатних скалярних величин є такі скалярні величини, які змінюються в двох протилежних напрямах (темпе­ратура) і значення яких можуть виражатись нулем, додатним або від'ємним числами. Узагальненням скалярних величин є також вектори, тензори та інші нескалярні величини. У деяких абстракт­них математичних дослідженнях введено неархімедові величини, для яких не виконується аксіома Архімеда.

Оскільки множина дійсних чисел задовольняє систему 10 ак­сіом скалярних величин, то правомірно самі дійсні числа назива­ти величинами. Особливо зручно це при розгляді змінних вели­чин.

Н. Я. Віленкін (нар. 1920) пропонував інше означення ска­лярної величини: величиною, заданою відношенням а ~ bі у множині ., називають розбиття цієї множини на кла­си еквівалентності за відношенням а = b

З дидактичних міркувань жодна абстрактна теорія скалярних величин не може бути предметом вивчення в середній школі. Проте, починаючи з початкової школи, протягом вивчення всього шкільного курсу математики та суміжних предметів у учнів треба сформувати правильне уявлення про різні скалярні та векторні величини шляхом розгляду різноманітних прикладів і безпосе­редніх вимірювань. При цьому важливо дотримуватись єдиного підходу до термінології та символіки, що стосується величин та їх вимірювання.

Зазначимо, що в школі і навчально-методичній літературі трапляються некоректності, і навіть помилки, щодо терміна «ве­личина». Часто вінототожнюється з термінами «кількість», «зна­чення величини». Вживаються вирази на зразок «величина пло­щі» (площа сама є величиною), «величина числа» (число - теж величина), «абсолютна величина числа».

Геометричні величини (довжина відрізка, величина кута і його синонім - міра кута, площа, об'єм) одночасно є і фізичними ве­личинами. В учнів поступово повинно сформуватися уявлення про те, що величина - це загальна властивість певного класу об'єктів, їхніх станів або процесів, що в них відбуваються. З кіль­кісного боку ця загальна властивість може бути індивідуальною Для кожного об'єкта. Наприклад, два різні трикутники можуть мати різні площі. Треба прагнути до того, щоб на прикладах кон­кретних геометричних фігур учні усвідомили, що довжина відріз­ка показує розмір частини прямої, яку він становить, властивість протяжності цієї фігури; площа фігури показує розмір частини площини, яку обмежує ця фігура, а об'єм - розмір частини прос­тору, яку обмежує певне геометричне тіло.

Вимірюються величини, а не об'єкти (фігури). Тому слід вжи­вати вираз «виміряти довжину відрізка», «виміряти величину кута», а не «виміряти відрізок, кут». Проте слід мати на увазі, що терміном «кут» у геометрії називають і геометричну фігуру, і величину.

Щодо величин вживаються три терміни: 1) розмір величини; 2) значення величини; 3) числове значення величини.

Розмір величини- кількісне вміщення тієї властивості даного об'єкта, яка відповідає поняттю величина. Розмір величини для даного об'єкта існує об'єктивно і не залежить від вибору одиниці вимірювання.

Значення величини - оцінка величини у вигляді деякого числа прийнятих для неї одиниць. Наприклад, 25 м, 2500 см. Значення величини завжди записується числом разом з найменуванням вибраної одиниці величини.

Числове значення величини - це число, яке входить до зна­чення величини. Наприклад, 25 дм³ - значення об'єму тіла, а 25 -числове значення об'єму тіла. Числове значення величини теж залежить від вибору одиниці вимірювання.

У зв'язку з вимірюванням величин вживаються два терміни: «одиниця величини» і «одиниця вимірювання величини», зміст яких відрізняється, хоч в підручниках і методичній літерату­рі вони часто ототожнюються (можливо для скорочення ви­мови).

У метрології, яка визначає державні стандарти щодо терміно­логії і символіки, і в фізиці одиниця величини-це величина, якій, за означенням, присвоюють числове значення, що дорівнює одиниці. Термін «одиниця величини» застосовується також дляпозначення одиниці, що входить множником до значення вели­чини. Наприклад, 1 см, 1°, 1 м³.

При вимірюванні геометричних величин послуговуються і те­рмінами «одиниця вимірювання довжини», «одиниця вимірюван­ня величини кута», «одиниця вимірювання площі», «одиниця вимірювання об'єму». Ці одиниці вимірювання являють собою відповідні фігури. Одиниця вимірювання довжини - одиничний відрізок, тобто такий, довжина якого є одиницею довжини (1 мм, 1 м, 1 дм, 1 км і т. д.). Одиниця вимірювання кутів - центральний кут, величина якого береться за одиницю міри кута (1°- в градус­ній системі, 1 радіан - в радіанній системі). Одиниця вимірюван­ня площі - одиничний квадрат, тобто квадрат, у якого сторона -одиничний відрізок. Площа одиничного квадрата є одиницею площі.

Слід мати на увазі, що перше уявлення про величини і їх ви­мірювання учні дістають ще в дошкільному .віці: уявлення про величину як просторову ознаку предметів - шляхом накладання і прикладання, навички порівнювати різні предмети, утворювати впорядковані сукупності (за довжиною, об'ємом та ін.), розвиток окоміру, початкові уявлення про вимірювання величин.

У шкільному курсі величини, їх вимірювання та обчислення вивчаються концентрично. У першому концентрі (1-4 класи) фор­муються на наочній основі уявлення про довжину, площу, масу, час, швидкість, вартість. Вводяться одиниці величин і їх вимірю­вання, розглядаються залежності між величинами (між ціною, кількістю і вартістю;' швидкістю, часом і шляхом; площею і дов­жинами сторін прямокутника). У 4 класі учні ознайомлюються із співвідношеннями між одиницями величин. Після закінчення початкової школи учні повинні знати: назви і позначення одиниць найважливіших величин - довжини (км, м, дм, см, мм), маси (кг, г), площі (м², дм², см²), швидкості (км/год, м/с), часу (год, хв, с); вміти: вимірювати довжину відрізка, дов­жину ламаної; будувати відрізок даної довжини; обчислювати периметр і площу прямокутника і многокутника (за допомогою палетки).

У 5-6 класах відомості про величини, їх вимірювання і обчис­лення повторюються і розширюються. Тут учнів ознайомлюють з двома новими величинами - мірою кута (вводиться градусна міра кута) й об'ємом прямокутного паралелепіпеда. У програмі 5-6 класів є вимога виконувати найпростіші вимірювання і побудови відрізків, кутів за даною градусною мірою кута.

Другий концентр щодо вивчення величин, їх вимірювання й обчислення здійснюється в два етапи. На першому етапі, у 7-9 класах, учні знову повертаються до відомих їм геометричних ве­личин, але вивчають їх уже на дедуктивній основі: запроваджу­ються первісні поняття «довжина відрізка», «градусна міра кута» та аксіоми, що виражають суттєві властивості цих понять. У 9 класі програмою передбачено вивчення площ многокутників, довжини кола і площі круга.

Другий етап- 10-11 класи. Тут у курсі стереометрії вивча­ються питання вимірювання площ поверхонь і об'ємів геометрич­них тіл. Вимоги програми сформульовані аналогічно до вивчення геометричних величин у планіметрії. Поняття і способи обчислен­ня площі поверхні многогранників не викликають труднощів в учнів. Що ж до площі поверхонь тіл обертання, то строге обґрун­тування відповідних формул пов'язане з певними труднощами. Можна було б обмежитись виведенням формул площ поверхонь тіл обертання, користуючись їх розгортками. У попередніх варіан­тах шкільної програми це передбачалось. Чинна програма орієн­тує в 11 класі вводити поняття площі поверхні на рівні строгого означення, але з опорою на наочні уявлення учнів.

Методика вивчення геометричнихвеличин в планіметрії. Повторення і розширення відомостей про довжини відрізків і міру кутів та їх вимірювання у 5-6 класах доцільно спрямувати на зв'язок з розв'язуванням текстових задач, перспективні зв'язки з наближеними обчисленнями, оскільки ре­зультати вимірювань довжин і значень міри кутів виражаються наближеними значеннями. Доцільно також дати учням чіткі ал­горитми вимірювання відповідних величин. Наприклад, для кутів алгоритм може мати такий вигляд. Щоб виміряти величину кута, треба:

1. накласти на кут транспортир так, щоб вершина кута збігла­ся з центром транспортира, а одна сторона кута пройшла через початок відліку на шкалі;

2. знайти штрих на шкалі, через який пройде друга сторона кута;

3. визначити градусну міру кута, користуючись цим штрихом і шкалою, через початок якої пройшла перша сторона кута.

Поширеною помилкою учнів при вимірюванні кутів за допомогою транспортира є неправильний вибір шкали з тих двох шкал, які позначені на деяких транспортирах. Тому треба звернути увагу учнів на правильний вибір шкали в третій вказівці алго­ритму.

Аналогічно можна сформулювати алгоритм вимірювання довжин відрізка лінійкою. У ньому треба передбачити вказівку на випадок, коли другий кінець відрізка не суміщається з штрихом шкали лінійки, а міститься між двома сусідніми штрихами.

Вводячи алгоритми вимірювання відрізків і кутів, зручно скористатися демонстраційною лінійкою і транспортиром або їх прозорими моделями для демонстрації процесу вимірювання через кодоскоп.

При вимірюванні геометричних величин, як і будь-яких інших, треба попередньо вказати використовувану одиницю величини, за допомогою якої буде записане одержане значення величини.

Вивчаючи формулу довжини кола в 6 класі, варто звернути увагу учнів на те, що виміряти безпосередньо довжину цієї замкненої кривої лінії масштабною лінійкою, яка є відрізком прямої, не можна. Однак можна знайти формулу, яка дає змогу обчи­слити довжину кола через його радіус або діаметр, тобто через відрізки прямої.

Доцільно також ознайомити учнів з різними вимірювальними приладами, якими послуговуються в техніці, на виробництві та в інших галузях народного господарства. Довжини відрізків креслярі вимірюють масштабною лінійкою, теслярі, столяри, будівельники - складаним метром, рулеткою, землеміри - польовим циркулем, геодезисти - мірною стрічкою (ланцюгом, рулеткою, звичайною мотузкою), кравці - клейончатим «сантиметром», слюсарі, фрезерувальники, токарі - штангенциркулем, кронцир­кулем. Спеціальний лічильник підраховує відстань, яку подолав автомобіль.

При повторенні систематичного курсу геометрії, де геомет­ричні величини вивчаються на дедуктивній основі, треба зверну­ти увагу учнів на те, що довжина відрізка і градусна міра кута - первісні поняття, а аксіоми вимірювання описують властивості цих понять. Разом з тим поняття площі в 9 класі і поняття об'єму в 11 класі вже вводяться шляхом означення. При цьому в тлумаченні всіх «трьох» геометричних величин і в розумінні їх вимірювання здійснюється єдиний підхід:

1. рівні фігури мають рівні відповідні величини (довжини, мі­ри кута, площі, об'єми);

2. якщо фігура розбивається на частини, то відповідна цій фі­гурі величина (довжина, міра кута, площа, об'єм) дорівнює сумі відповідних величин її частин;

3. існує одиниця вимірювання, тобто фігура, відповідна вели­чина якої береться за одиницю (одиничний відрізок, центральний кут в 1°, квадрат і куб, сторони яких є одиничним відрізком).

Довжина кола в 9 класі вивчається на більш високому теоре­тичному рівні, хоч формула і не доводиться строго дедуктивно. Справді, строге доведення потребує використання поняття гра­ниці, з яким учні на цьому етапі навчання ще не знайомі. З метою здійснення перспективних зв'язків, пропедевтики поняття грани­ці і наочної ілюстрації ідеї граничного переходу можна запропо­нувати учням готову таблицю (табл. 3.8) значень периметрів пра­вильних вписаних і описаних многокутників стосовно кола радіу­са 1 і 3. Аналізуючи рисунки і числові значення периметрів, учні переконуються, що, коли R = 1, при збільшенні кількості сторін многокутника значення периметрів прямують до того самого чис­ла, що наближено дорівнює Якщо взяти R= 3, то це число дорівнюватиме .

Після доведення теореми про відношення довжини кола до його діаметра, з якої безпосередньо випливає формула довжини кола, варто запропонувати учням самостійно вивести формулу довжини дуги кола, яка має градусну міру п°.

У курсі геометрії й алгебри основної школи розширюються відомості про кути та вимірювання їх.

У курсі планіметрії на основі наочних, інтуїтивних уявлень про площу, які учні дістали в 1-6 класах, теоретичні відомості про площі фігур будуються на дедуктивній основі. У підручнику перелічуються суттєві властивості пло­щі, і на їх основі доводиться формула площі прямокутника та інших видів многокутників.

При вивченні теореми про площу трапеції доцільно скориста­тися дослідницьким методом навчання, а саме - запропонувати учням самостійно вивести формулу площі трапеції, використо­вуючи властивості площі та відомі формули площ інших много­кутників. Різні учні виберуть різні шляхи пошуку формули, що дасть можливість завершити роботу колективним обговоренням знайдених способів доведення.

Через систему спеціально підібраних задач корисно ознайо­мити учнів з іншими формулами площ многокутників. Ці форму­ли стануть у пригоді при розв'язуванні різноманітних задач. їх доцільно звести в таблицю, яку учні записують в довідковий зошит, призначений для формул, правил-орієнтирів ме­тодів доведень та методів і способів розв'язування певних класів задач.

У чинних підручниках з геометрії при виведенні формули площі круга традиційно послуговуються ідеєю граничного пере­ходу від площі вписаного (описаного) правильного многокутника до площі круга при прямуванні до нескінченної кількості п сторін правильного п- кутника.

Після виведення формули площі круга, кругового сектора і сегмента варто повідомити учнів про те, що надалі в курсі алге­бри і початків аналізу вони ознайомляться із загальним методом обчислення площ плоских фігур, обмежених графіками функцій, за допомогою інтеграла.

20.Логічна будова шкільного курсу геометрії. Геометрія як наука - частина математики, початковим предметом якої є просторові відношення і форми тіл, без урахування інших їх властивостей (густини, маси, кольору тощо). Сучасна геометрія вивчає будь-які відношення і форми, що виникають при дослі­дженні однорідних об'єктів, явищ, подій (без урахування їх кон­кретного змісту) і виявляються схожими на звичайні просторові відношення і форми.

Виникнення геометрії з давніх-давен було зумовлене практич­ними потребами людей (вимірювання відстаней, площ земельних ділянок, об'ємів тіл). Найпростіші геометричні твердження і поняття були відомі ще в Стародавньому Єгипті (початок II ти­сячоліття до н. є.). Проте логічні доведення тверджень на той час були примітивними або їх зовсім не було. З VI по І ст. до н. є. розвиток геометрії відбувався в основному в Стародавній Греції. На той час вже з'явились порівняно строгі логічні доведення, які були зібрані в «Началах» Евкліда (близько 300 р. до н. є.). Розви­ток астрономії і геодезії (І-ІІ ст.) привів до відкриття плоскої і сферичної тригонометрії.

Зовсім новий підхід до розв'язування геометричних фактів за­пропонував у першій половині XVII ст. Р. Декарт (1596-1650). Він відкрив метод координат, чим було закладено основи аналі­тичної геометрії.

У 1826 р. М. І. Лобачевський запропонував систему аксіом, відмінну від аксіом Евкліда, - була відкрита можливість існуван­ня неевклідової геометрії.

У шкільному курсі до 60-х рр. XX ст. в основу логічної побу­дови підручників геометрії у всіх країнах було покладено аксіо­матику Евкліда. Зокрема, на такій логічній основі побудований підручник геометрії А. П. Кисельова (було понад 30 видань). У період світового руху за модернізацію шкільного курсу в 50-60-х рр. в багатьох країнах висловлювався заклик відмовитись від системи Евкліда і ввести до шкільного курсу тільки сучасну і досконалу аксіоматику. Були різні пропозиції і спроби, зокрема пропонувалося побудувати шкільний курс геометрії на основі аксіоматики векторного простору (аксіоми Вейля), в основу по­класти геометричні перетворення, аксіоми метричного простору. Було створено пробні підручники. З 70-х рр. у республіках ко­лишнього СРСР протягом кількох років планіметрія викладалась за посібником [81], створеним з безпосередньою участю А. М. Колмогорова. В основу посібника було покладено аксіоматику, за­пропоновану А. М. Колмогоровим. Широко використовувались термінологія і символіка множин, геометричні перетворення були основним засобом доведення теорем та розв'язування задач, пе­редбачалось використання векторів і тригонометричних функцій як апарату для розв'язування задач. Однак посібник зазнав гострої критики через занадто високий його теоретичний рівень, заформалізованість термінологією, і символікою множин, недоско­налість системи задач. Трохи вище оцінювали вчителі навчаль­ний посібник із стереометрії за редакцією 3. О. Скопеця, який був логічним продовженням посібника з планіметрії за редакцією А. М. Колмогорова.

З 1982-1983 навчального року 6 класи всіх шкіл України і кількох областей Білорусі, Росії почали працювати за четвертим виданням навчального посібника О. В. Погорєлова.

Після кількох перевидань і перемоги на Всесоюзному конкур­сі 1990 р. цей посібник [164] разом з книжкою авторів Л. С. Атанасяна та ін. [41] було введено як паралельні підручники для 7-11 класів середньої школи.