6.2. Сведения о критериях разрушения

Классические критерии разрушения, так или иначе, базируются на разрушении типа сдвига или отрыва и относятся к изотропным телам. Рассматриваемые ниже критерии разрушения носят феноменологический характер, так как не объясняют механику разрушения, а лишь указывают условия, при которых возможно разрушение.

6.2.1. Критерии Галилея и Мариотта

Критерии разрушения Галилея (1638 г.) и Мариотта (1679 г.) являются первыми критериями, определяющими условия достижения предельного состояния тела. Краткий исторический экскурс по критериям разрушения можно найти в руководстве [37].

. Критерий Галилея. Согласно этому критерию разрушение тел происходит при достижении наибольшего по модулю нормального напряжения предела прочности материала - (предела текучести, предельного нормального напряжения, при котором происходит хрупкое разрушения). Математически критерий записывается в виде - . Этот критерий справедлив для хрупких пород при одноосном нагружении. Однако дает неудовлетворительные результаты при пластическом деформировании и сложном напряженном состоянии, в частности, при гидростатическом давлении, когда разрушение образца не происходит.

Критерий Мариотта. Согласно этому критерию разрушение тел происходит, когда наибольшая деформация по абсолютной величине достигнет предельного значения - . Математически критерий записывается в виде - . Используя закон Гука, этот критерий можно выразить через главные напряжения, например, , где - . Критерий Мариотта удовлетворительно описывает разрушение хрупких пород, но не применим для пластичных пород.

6.2.2. Критерий Кулона-Навье

Критерий Кулона-Навье развивался в два этапа и лег в основу теории наибольших касательных напряжений. Напомним, что при условии для главных нормальных напряжений - согласно выражениям (4.24) наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение равно - . Вначале Кулон предложил (1773 г.), что если величина - достигнет предела прочности - , то произойдет разрушение тела в форме среза, т.е. при - .

Несколько позже (1776 г.), анализируя косое разрушение каменной кладки под действием сжимающих напряжений, Кулон пришел к выводу, что сопротивление срезу определяется не только сцеплением частиц в камне, но и внутренним трением, действующим вдоль поверхности разрушения и пропорциональным величине нормального напряжения, т.е.

, (6.9)

где - коэффициент внутреннего трения, - сцепление.

Коэффициент внутреннего трения можно уподобить коэффициенту трения покоя. Равенство в выражении (6.9) означает предельное состояние породы, если - меньше правой части, то произойдет разрушение, если больше, то порода выдержит нагрузку.

Навье обосновал применение этого критерия. Поэтому этот критерий связан с именами Кулона и Навье.

Выражение (6.9) в механике грунтов носит название «закона Кулона». В материаловедении критерий Кулона в его первоначальном виде называется «критерием Треска» и применяется для установления предельного пластического деформирования материала.

Критерий прочности (6.9) широко используется в горной механике для анализа прочностных свойств горных пород и устойчивости обнажений при ведении горных работ на дневной поверхности, так как дает удовлетворительные результаты вплоть до глубин 0,8 км.

Рассмотрим графическую интерпретацию критерия Кулона-Навье в плоскости главных напряжений - . Введем функцию - . Касательное и нормальное напряжения на площадке выразим через главные напряжения согласно формулам (4.10) для - и после преобразований получим

. (6.10)

Легко убедиться, что максимальное значение функции - в интервале значений угла между нормалью к площадке возможного разрушения и направлением главного напряжения - соответствует значению угла - , определяемого согласно равенству

(6.11)

При условии (6.11) функция - соответствует предельному состоянию (6.9) и, следовательно, имеет место равенство - . Используя подстановку (6.11), критерий (6.9) запишем в виде

. (6.12)

В линейном уравнении (6.12) для переменных величин - и установим предельные значения. В испытаниях горных пород при одноосном растяжении определяют предел прочности при растяжении - , то же при одноосном сжатии – предел прочности при сжатии - , причем - . С учетом неравенства - и знаков напряжений получим - при - и - при - .

Используя выражение (6.12), свяжем пределы прочности с коэффициентом внутреннего трения и сцеплением

и . (6.13)

Выражения (6.13) позволяют привести уравнение (6.12) к компактному виду

. (6.14)

Г рафическое представление уравнения (6.14) показано на рис. 6.4. Там же построена прямая - . Область допустимых значений напряжений лежит выше этой прямой, поскольку - . Точки напряженного состояния, лежащие выше прямой (6.14) соответствуют разрушению породы. Точки, находящиеся между прямой согласно уравнению (6.14) и прямой , соответствуют не разрушенной породе.

Из выражений (6.13) получим отношение - . Если принять среднее значение коэффициента внутреннего трения для скальных пород - , то - . Однако полученное значение меньше отношения реальных пределов прочности. При испытаниях пород обычно - . Строго говоря, понятие внутреннего трения теряет смысл для растягивающих нагрузок. Однако это не снижает ценности критерия (6.9), поскольку в механике горных пород приходится иметь дело преимущественно со сжимающими напряжениями.