2.7. Обчислення площ поверхонь

Нехай неперервна диференційована на сегменті функція. Площа поверхні, утвореної при обертанні графіка цієї функції навколо осі , дорівнює:

(2.21)

Знак модуля враховують в залежності від того, в якій пів площині (нижній чи верхній) розміщена крива. У випадку параметричного задання кривої маємо

(2.22)

При аналогічних умовах площа поверхні, утвореної при обертанні кривої навколо осі відповідно дорівнює:

(2.21’)

. (2.22’)

Нагадаємо, що площа поверхні, утвореної при обертанні навколо полярного променя кривої дорівнює

(2.23)

де неперервна диференційована на функція. При цих же умовах площа поверхні, утвореної обертанням навколо променя кривої дорівнює:

(2.24)

1 . Знайти площу поверхні, утвореної при обертанні еліпса навколо осі (мал. 2.12). Дугу еліпса можна розглядати як графік функції або в параметричній формі . Шукану площу поверхні знаходимо по формулі (2.22): Після заміни одержимо: .

2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням лемніскати Бернуллі навко-ло полярного променя. Повинно бути тобто (права гілка лемніскати), або (ліва гілка лемніскати) (мал. 2.13). З урахуванням симетрії тіла обертання по формулі (2.23):

.

2.8. Застосування означених інтегралів до питань механіки, фізики, техніки

1. Знайти масу фігури (густина ), статичні моменти і , моменти інерції та відносно осей і , координати та центра мас фігури, обмеженої кривими , , .

Зобразимо задану фігуру (мал. 2.14). Відомо, що

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Маємо:

. По формулі (2.27) маємо .

2. Знати тиск, що діє на півкруг, вертикально занурений в рідину, якщо його радіус дорівнює , а верхній діаметр лежить на вільній поверхні рідини (мал.2.15). Питома вага рідини дорівнює .

П роводимо горизонтальну смужку на глибині . Нехай ширина смужки , а довжина . Приймаючи цю смужку за елемент площі, для диференціала площі одержимо вираз , але звідки отже: Сила тиску рідини на елементарну смужку Таким чином

3. Яку роботу необхідно виконати, щоб розтягнути пружину на 4см, якщо відомо, що від навантаження в вона розтягнулася на 1см?

Згідно з законом Гука сила , яка розтягнула пружину на м, дорівнює: . Коефіцієнт пропорційності знайдемо з умови: якщо , то , отже та . Тоді (Дж).

4. Ракета з початковою масою з стану спокою проходить ділянку довжини з постійним прискоренням , зазнаючи дію сталої сили опору . Швидкість витікання горючих газів стала і дорівнює . Знайти витрати топлива на ділянці . Рух матеріальної точки змінної маси описується рівнянням І.В.Мещерського

(2.29)

де ― рівнодійна сил, прикладених до точки; ― реактивна сила, яка визначається з формули

(2.30)

де – швидкість частинок маси, які приєднуються чи відділяються відносно даної точки. В даному випадку зовнішня сила ; враховуючи, що вектори і протилежно направлені, з (2.29) і (2.30) одержуємо звідси Враховуючи, що знаходимо і витрати дорівнюють: .

5. Електричне коло містить опір і має коефіцієнт самоіндукції . В початковий момент струм в колі відсутній. В коло подається зовнішня напруга де Знайти залежність струму в колі від часу. Струм та швидкість його зміни зв’язані рівнянням

(2.31)

з якого випливає, що Помножимо обидві частини цього рівняння на і одержимо, що ліва частина представляє похідну добутку тому Звідси Тут ліва частина дорівнює оскільки Правий інтеграл обчислимо, застосовуючи формулу інтегрування по частинам, в результаті чого одержимо: .

6. Визначити витрати води через прямокутний водозлив висотою і довжиною . Швидкість, з якою рідина витікає з досить малого отвору в посудині, що знаходиться на глибині :

(2.32)

Д ля води приймають Нехай – розбиття висоти водозлива (тобто сегменту ). В точках прямо-кутника висоти і довжини (мал.2.16) швидкість витікання води де Об’єм води, що витікає в одиницю часу з такого прямокутника, дорівнює:

Повний об’єм води, який проходить в одиницю часу через водозлив, тобто витрати води, дорівнює: . В правій частині цієї рівності стоїть інтегральна сума для інтегралу В граничному випадку одержимо: Прийнявши будемо мати