3. Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).

Пусть – числ. посл-ть, соединяя все члены это посл-ти «+»,получ. выражение

кот. наз числ. рядом с членами . наз n-ой частичной суммой.

Ряд наз сх-ся, если посл-ть частичных сумм {S_n} имеет конечный предел (число). Иначе ряд наз расх-ся.

Если ряд сх-ся, то S = наз суммой ряда и пишут

Т(критерий Коши сх-ти ряда): сходится   > 0,  N : n  N и  p N  | | < .

Док-во: , ,пусть получ ,

Cледствие 1: сх-ся когда сх-ся его остаток .

Cледствие 2:Если ряд сх-ся, то необх. чтобы .

Числ. ряд наз полож,если все его члены не отрицат ( )

Т(критерий сходимости рядов с неотрицательными членами):Пусть а_n  0. n  N  сходится  {S_n} ограничена сверху.

Док-во:S_n = S_n-1 + a_n  S_n-1, n

Необ-ть: Пусть ряд сходится   lim_n S_n = S  {S_n}- ограгичена cверху.

Дос-ть: Пусть {S_n}- неубывающая и ограгичена cверху  по теореме Веерштрасса  lim_n S_n = S, т.е. ряд сходится.

Т(Признак Коши)Пусть полож ряд и пусть , тогда: 1)если , то исходный ряд сх-ся 2)если , то исх ряд рассх 3)если , то как сх-ть так и расх-ть ряда

Т(Признак Даламбера)Пусть задан строгополож ряд и , тогда: 1)если , то ряд сх-ся 2)если , то ряд рассх 3)если , то как сх-ть так и расх-ть ряда

Опр.Ряд наз абс сх-ся, если сх-ся ряд .

Т. Если ряд сх-ся абсолютно, то он сх-ся.

Опр.Ряд который сх-ся, но не сх-ся абс наз условно сх-ся.

Т. Абс сх-ть ряда эквивалентна сх-ти двух полож рядов и (*)

Т.Если ряд сх-ся условно, то ряды (*) расс-ся, т.е. ряд составленный из полож членов bcc[ ряда будет рассх так же как и ряд составлен. Из отрицат членов и сх-ся ряда

4. Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x₀ ,если , то он называется производной функции f в точке x₀(при x x₀) и обозначается . Обозначим ∆x=x-x₀, тогда , обозначим , тогда .

Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности U(x₀), функция f называется дифференцируемой в точке x₀, если имеет место представление , где -б.м. при ;

наз дифференциалом функции f в т. x₀ и обозначается df(x₀)= .

Опр. Разность наз приращением ф-ции в т. x₀, и обозн . Разность наз приращением аргумента

Т. Если ф-ция f диф в т. x₀ , то она непр в этой точке.

Опр. Пусть f диф-ма в некот окрестности т. x₀ , т.е. и конечная , где . Если то её наз второй производной f (x₀) и обозначается .Т.о.

Опр. Производная (n)-го порядка в точке x₀ получается из производной в этой точке от производной (n-1) порядка. Обозначение f⁽⁰⁾=f. Опр. Функция f называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если у нее имеется до n-го порядка включительно и они непрерывны.

Теорема. (О вычислении производной высшего порядка)

Пусть U(x) и V(x) имеют в точке x₀ производные до n-го порядка включительно, тогда их сумма и произведение имеют в точке x₀ производную n-го порядка, при этом (u+v)^{n}=u^{n}+v^{n}, (uv)^{n}=(u+v)^{n}, где {n} означает, что u+v нужно формаль-но возвести в n-ю степень, а затем везде заменить степень на производную.

Вторым дифференцалом функции f в точке x₀ называется дифференциал от ее первого дифференциала, предположим что (или dx) фиксируются. Обозначения d²y, d²f, d²f(x₀), d²f=d(df)=d( dx)=d( )dx= dxdx= (dx)². dⁿf(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)dxⁿ. Свойства дифференциалов высших порядков dⁿ(u+v)=d^{n}u+d^{n}v, dⁿcu=cdⁿu, dⁿ(uv)=(u+v)^{n}(dx)ⁿ.