12. Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).

Опр:Пусть Е – множество точек из Rⁿ измеримое по Жордану, тогда его мерой называется mesE V(S).

Пусть А Rⁿ. Опр: Диаметром d(A)= называется точная верхняя грань расстояния между двумя точками из А.

Пусть Е измеримое подмножество Rⁿ, f – функция, заданная на Е. Разбиением  множества Е называется система множеств {E_i} , такие что: 1.i E_i измеримы; 2.i,j mes(E_i E_j)=0; 3. E_i=E. Мелкостью () разбиения  называется наибольший из диаметров E_i. ()= d(E_i ). Разбиением с отмеченными точками называется разбиение  = {E_i} и система точек {_i} i _i E_i таких, что i-тая точка берется в i-ом кусочке. Интегральной суммой для функции f соответствующей данному разбиению отмеченной точки {,} называется = .

Опр: Интегралом функции f по множеству Е называется предел интегральных сумм при мелкости разбиения 0.

Опр: Число I называется пределом интегральных сумм при мелкости разбиения 0, если >0 >0: : ()< и {_i} <.

Теорема (о сведении двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области): Пусть: 1. f(x,y) – интегрируема на прямоугольнике ={(x,y): axb, cyd} ( т.е. 

); 2. для х [a,b]  ; 3. для y [c,d]  ; тогда  оба повторных интеграла и они равны двойному. . Иначе говоря, существование двойного и обоих простых следует из существования обоих повторных и равенства их двойному и между собой.

Замена переменных в двойном интеграле: . Нужно сделать замену переменных. Т.к. их две, то нужно рассмотреть x=x(u,v) и y=y(u,v), тогда рассмотрим . Интеграл берется по множеству, по которому должна изменятся точка (u,v), так чтобы точка (x(u,v),y(u,v)) пробегала данное множество.

13. Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).

Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть  - спрямляемая кривая (т.е. которая имеет длину), (x(s),y(s),z(s)), где s – переменная длина дуги, естественный параметр. r=r(s) , где r – трехмерный вектор и имеет координаты (x(s),y(s),z(s)). Функция r=r(s) называется представление кривой. В данном случае кривая задана с помощью натурального естественного параметра. Важно и направление на кривой. Направление обычно берется соответственно возрастанию параметра. Рассмотрим произвольное разбиение  отрезка [0,s] точками s₀=0, s₁,…,

s_i =s. В каждом из частичных отрезков отметим точку _i, найдем соответствующую точку r(_i) на кривой . Отметим также точки r(s_i-1) и r(s_i). Получим разбиение кривой с отмеченными точками. Пусть f(x,y,z) – функция, заданная на кривой . Дополнительно предположим, что эта функция непрерывна на кривой , не обязательное, но обычное предположение. Рассмотрим , которая называется интегральной суммой для криволинейного интеграла 1-го рода, соответствующей разбиению  и выбору отмеченных точек _i.

Определение: Криволинейный интеграл 1-го рода называется предел интегральных сумм при мелкости разбиения, стремящейся к нулю (если он , то тогда функцию называют интегрируемой, если не существует, то – неинтегрируемой).

Криволинейные интегралы второго рода.

Дано: кривая , - гладкая, т.е. x= , y= , z= , где atb, - непрерывно дифференцированы и заданы 3 функции 3-х переменных:

P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – заданы на кривой  и непрерывны на ней.

Определение: Криволинейный интеграл 2-го рода от отображения F(P,Q,R) называется .

Обозначение: .

Теорема (о формуле Грина): Пусть P(x,y) и Q(x,y) – непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области Д, ограниченной одним или несколькими кусочно-гладкими контурами. Тогда , где Д – наша область, - граница области, где на каждом из контуров, образующих границу, берется положительное направление и криволинейный интеграл, стоящий слева, есть сумма интегралов по этим контурам.

Теорема ( условие независимости криволинейного интеграла от формы пути): Пусть P(x,y), Q(x,y) – непрерывны в области Д. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области Д, равен нулю.

2. для любых точек А и В Д не зависит от выбора кривой, соединяющей точки А и В.

3. выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом, т.е.  такая функция U(x,y) (она называется потенциал), такая что Pdx+Qdy= , иначе говоря P= , Q= . В этом случае = U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a)).

Поверхностный интеграл 1-го рода.

Пусть Ф – двусторонняя кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром М(x,y,z). Пусть f - функция, заданная в точках поверхности Ф.

1. Разобьем Ф на части Ф₁, …, Ф_n ( ) – кусочно-гладкими кривыми.

2. В каждой части произвольным образом выберем точку М_i(x_i ,y_i ,z_i).

3. Значение функции f умножим на площадь кусочка Ф_i : f(x_i ,y_i ,z_i)S(Ф_i).

4. Рассмотрим сумму, полученную в произведении f(x_i ,y_i ,z_i)S(Ф_i) (она называется интегральной).

5. Предел этих интегральных сумм при мелкости разбиения 0 (если он ) называется поверхностным интегралом 1-го рода функции f по поверхности Ф и обозначается .

Поверхностный интеграл 2-го рода.

Пусть Ф двусторонняя гладкая поверхность, ограниченная кусочно - гладким контуром. Выберем сторону поверхности (т. е. выбрать вектор или - ).

Пусть f(x,y,z) – функция, заданная в точках этой поверхности Ф. Рассмотрим разбиение поверхности Ф. В каждом Ф_i выберем произвольную точку М_i( ) , значение функции в этой точке f(М_i) умножим на cos S(Ф_i), т.е. f(М_i)cos S(Ф_i), где cos - косинус угла, образованного выбранным вектором нормали в точке М_i и положительным направлением оси OZ. Рассмотрим сумму , она называется интегральной суммой для поверхностного интеграла 2-го рода. Если предел интегральных сумм при мелкости разбиения стремится к 0,  , то функция называется интегрируемой, а этот предел интегралом 2-го рода, который обозначается . Аналогично определяются интегралы: и .

Итак, =

=

= .