4.5 Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування

Можна показати, що існують границі:

.

Переходячи до границі при в системі Ерланга, отримуємо нескінченну алгебраїчну систему:

Умова нормування приймає вигляд: .

Розв’язуючи дану систему аналогічно до системи (3.1), отримуємо:

(4.11)

де параметр визначає середнє число заявок, що поступають за середній час обслуговування однієї заявки, а – середнє число заявок, що покидають систему без обслуговування, за середній час обслуговування однієї заявки.

Ймовірність р₀ (ймовірність того, що всі канали вільні) знаходимо використовуючи умову нормування:

. (4.12)

Нескінчену суму, що входить до формули (4.12), обчислюють наближено, використовуючи перші декілька доданків. Похибку, яка виникає від відкидання всіх членів нескінченої суми, починаючи з j–того, можна оцінити за формулою:

.

Можна показати, що для розглянутої СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування, фінальні ймовірності існують завжди, якщо . Це підтверджується тим, що ряд в формулі (4.12) збігається при довільних додатних а і . По суті це означає, що черга не може зростати нескінченно: чим більша довжина черги, тим інтенсивніше заявки покидають систему не дочекавшись обслуговування.

Середню довжину черги можна обчислити як математичне сподівання числа заявок, що знаходяться в черзі:

. (4.13)

Замість нескінченної суми, що входить в праву частину формули (4.13), беруть декілька перших доданків. При цьому допускається похибка, яку можна оцінити за допомогою нерівності:

.

В усталеному режимі роботи СМО ймовірність відмови в обслуговуванні можна підрахувати як відношення середнього числа заявок, що покидають систему без обслуговування за одиницю часу, до середнього числа заявок, що поступають в СМО. Підрахуємо, скільки заявок в середньому покидають систему без обслуговування за одиницю часу. Інтенсивність потоку таких заявок, що припадає на одну заявку з черги, дорівнює ω. Оскільки в черзі в середньому знаходиться заявок, то сумарна інтенсивність потоку уходів заявок дорівнює . Отже,

. (4.14)

Ймовірність обслуговування дорівнює:

. (4.15)

Абсолютна пропускна спроможність СМО:

. (4.16)

Число заявок, що знаходяться на обслуговуванні (число зайнятих каналів) дорівнює:

. (4.17)

Середнє число заявок в СМО дорівнює сумі середнього числа заявок в черзі та середнього числа заявок, що обслуговуються (середнє число зайнятих каналів):

.

За першою формулою Литтла (1.7) можна знайти середній час перебування заявки в системі:

.

Питання для самоконтролю

1. Як записується система диференціальних рівнянь для ймовірностей станів СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги?

2. Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, що описують усталений режим роботи СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги.

3. Який вигляд має розмічений граф станів для СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги?

4. Виведіть основні формули для СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги очікуванням в усталеному режимі.

5. Як працює СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування?

6. Виведіть формули для перехідних ймовірностей випадкового процесу, що описує роботу СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування.

7. Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, що описують усталений режим роботи СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування.

8. Виведіть основні формули для СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування в усталеному режимі.