2. Усталений режим роботи смо з відмовами

З формули (2.1) випливає, що при всіх існують границі

. (2.2)

Формули (2.2) означають, що, якщо СМО попрацювала досить довго після початкового моменту , то практично ймовірності перестають залежати від часу, і СМО при великих t працює в усталеному режимі. Числа називають фінальними ймовірностями. Для їх знаходження в системі Ерланга перейдемо до границі при . Враховуючи , маємо систему алгебраїчних рівнянь:

. (2.3)

Умова нормування приймає вигляд: .

Для розв’язання системи (2.3) зробимо заміну:

.

Звідси,

,

,

.

Система (2.3) приймає вигляд:

.

Отже, . Звідси отримуємо:

; ; … , .

Для знаходження використовуємо умову нормування:

.

Тоді,

. (2.4)

Позначимо через . Параметр – щільність завантаження системи, оскільки він дорівнює середньому числу заявок, що поступили в СМО за середній час обслуговування однієї заявки.

Отже ймовірності (ймовірності того, що в системі зайняті k каналів) можна знайти за формулами:

. (2.5)

Ймовірність – це ймовірність того, що всі канали зайняті, а, отже, це ймовірність відмови. З формули (2.5) маємо:

. (2.6)

Ймовірність обслуговування (відносна пропускна спроможність СМО) дорівнює:

.

Абсолютна пропускна спроможність СМО, тобто середнє число заявок, що обслуговує СМО за одиницю часу

. (2.7)

Середнє число зайнятих каналів дорівнює математичному сподіванню числа зайнятих каналів, а, отже:

. (2.8)

З формул (2.7) і (2.8) маємо:

. (2.9)

Формула (2.9) має місце і для інших видів відкритих СМО.

Зауваження. Для підрахунку ймовірностей можна користуватись таблицями 1 і 2 пуасонівського розподілу, що наведені в додатках. Для цього формули (2.5) записуємо у вигляді:

. (2.10)

Питання для самоконтролю

1. Яким процесом описується СМО з відмовами?

2. Як виводяться формули для перехідних ймовірностей?

3. Який вигляд має розмічений граф станів для СМО з відмовами?

4. Запишіть систему рівнянь Колмогорова для СМО з відмовами.

5. Що таке щільність завантаження системи?

6. Виведіть основні формули для СМО з відмовами в усталеному режимі.

7. Чому дорівнює ймовірність того, що заявка не буде обслугована?

8. Яке середнє число зайнятих каналів?

Ііі. Смо з очікуванням

1. Марковський процес, що описує смо з очікуванням

СМО складається з n каналів обслуговування. Починаючи з моменту часу на вхід СМО поступає найпростіший потік заявок з інтенсивністю λ. Якщо є вільні канали, то заявка починає обслуговуватись одним каналом, якщо всі канали зайняті, то заявка стає в чергу. Обмежень на довжину черги немає, дисципліна обслуговування найпростіша. Час обслуговування Т має показниковий закон розподілу з параметром μ, причому будемо вважати, що час обслуговування даної заявки не залежить від часу обслуговування інших заявок та від інших заявок, що поступають.

Робота СМО описується випадковим процесом – кількістю заявок в системі в момент часу t. Частина цих заявок може обслуговуватись, інші очікують обслуговування в черзі. Можливими значеннями цього процесу є числа 0, 1, 2, …, n, …. Так само, як в попередньому розділі, неважко переконатись в тому, що випадковий процес є однорідним ланцюгом Маркова з дискретною множиною значень і неперервним часом.

Якщо , тобто в момент часу t в системі знаходиться k заявок, то будемо вважати, що система знаходиться в стані . Позначимо через ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться в стані , тобто

.

Позначимо через перехідну ймовірність, тобто ймовірність того, що за час система перейшла із стану в стан . Асимптотичні формули для при такі самі, як і для СМО з відмовами. При формули будуть відрізнятись.

Ймовірність – це ймовірність того, що за час в СМО замість k заявок стало k +1 заявки. Це може відбутись, якщо за час поступила одна заявка (ймовірність ) і жоден з n канал не звільнився (ймовірність , або поступили s заявки (ймовірність ) і s – 1 канал з n зайнятих каналів звільнились (ймовірність ). Отже, ймовірність дорівнює:

.

Ймовірність – це ймовірність того, що за час в СМО замість k заявок стало k –1 заявки. Це може відбутись, якщо за час не поступила жодна заявка (ймовірність ) і один з n каналів звільнився (ймовірність , або поступили s заявки (ймовірність ) і s +1 канал звільнився (ймовірність ). Отже, ймовірність дорівнює:

.

Аналогічно знаходимо, що .

Розмічений граф станів для процесу має вигляд:

Стан Е_n+m означає, що n заявок обслуговуються, а m знаходяться в черзі. Використовуючи даний граф та мнемонічне правило, запишемо систему диференціальних рівнянь для :

.

Природно припустити, що

.

Умова нормування буде мати вигляд: .