5.4.2. Динамика вращательного движения твердого тела

Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела в инерциальной системе отсчета OXYZ под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 5.17).

При вращении тела угол его поворота φ изменяется в зависимости от времени t.

φ = f(t).

Эту аналитическую зависимость называют уравнением вращательного движения твердого тела. При вращательном движении твердого тела все его точки описывают окружности с центром на оси вращения и радиусом r_i.

Рис. 5.17

По известному уравнению φ = f(t) вращательного движения тела определяют его угловую скорость ω и угловое ускорение ε.

ω = dφ/dt; ε = d₂φ/dt².

Согласно рис. 5.17 на рассматриваемую механическую систему (твердое тело) кроме активных сил действуют реакции внешних связей. К этим реакциям отнесены: X_A, Y_A, Z_A, X_B, Y_B, – соответственно реакции подпятника А, цилиндрического шарнира В и реакция тела другой механической системы в точке С.

R^E = Σ = X_A + Y_A + Z_A + X_B + Y_B + ,

где R^E = Σ – главный вектор реакций внешних связей.

Необходимо отметить, что в динамике твердое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил (главный вектор R^J внутренних сил) всегда равен нулю (Σ = R^J = 0).

С учетом этого дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси вращения OZ имеет вид

J_oz(d₂φ/dt²) = ΣM_oz( ) + ΣM_oz( ),

где J_oz – момент инерции твердого тела относительно оси вращения; ΣM_oz( ), ΣM_oz( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Сравним дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела (J_oz(d₂φ/dt²) = ΣM_oz( ) + ΣM_oz( )) с одним из дифференциальных уравнений поступательного движения твердого тела (m = Σ + Σ ).

Очевидно, что момент инерции J_oz твердого тела при вращательном движении имеет то же значение, что и масса m при его поступательном движении.

Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при его вращательном движении.

По дифференциальному уравнению вращательного движения твердого тела (J_oz(d₂φ/dt²) = ΣM_oz( ) + ΣM_oz( )) решают следующие задачи:

1. По заданному уравнению движения φ = f(t) и его моменту инерции J_oz определяют главный момент внешних сил, действующих на тело:

= ΣM_oz( ) + ΣM_oz( ).

2. По заданным активным силам и реакциям внешних связей, а также по начальным условиям вращения (φ₀, ω₀) и по моменту инерции J_oz тела относительно оси вращения определяют уравнение движения φ = f(t).

3. Определяют момент инерции J_oz относительно оси вращения по известным величинам углового ускорения ε и главного момента внешних сил, действующих на тело.

Поскольку учебной программой выполнение курсовых заданий на применение дифференциальных уравнений вращательного движения твердого тела не запланировано, то и примеры решения задач на эту тему в данном учебно-методическом пособии не приведены.