3. Основные методы расчета электрических цепей
Методические указания.
После изучения третьего раздела нужно знать основные методы расчета электрических цепей. Необходимо разобраться, в каких случаях при решении задач нужно применять тот или иной метод, уметь применять их при решении задач. Объясните разницу в ВАХ идеальных и реальных источников тока и напряжения. После изучения четвертого раздела, в опорном конспекте должны быть краткие, но полностью показывающие суть каждого метода записи.
3.1 Метод уравнений Кирхгофа
Метод базируется на решении независимых уравнений, которые составлены для заданной цепи по первому и второму законам Кирхгофа. Прежде всего, необходимо определить количество ветвей в данной цепи, задать предполагаемые направления токов во всех ветвях и направления обходов в контурах. Если – количество ветвей, – количество узлов схемы, то полученная система уравнений будет содержать независимых уравнений:
Решение системы найдем путем подстановки напряжений в первую группу уравнений или токов – во вторую группу. В обоих случаях получим токов или напряжений.
Рассмотрим пример для
схемы, приведенной на рисунке 2.7 при
,
т. е. рассчитаем режим работы схемы по
постоянному току.
Составим для полученной схемы систему уравнений, состоящую из 6 уравнений.
Три уравнения составлены по первому закону Кирхгофа и три уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа.
Необходимо решить систему уравнений относительно токов.
3.2 Метод эквивалентных преобразований
Преобразования называются эквивалентными, если при замене одного участка цепи другим, более простым, токи и напряжения участка цепи, который не был преобразован, не изменяются.
При расчете электрических схем часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета.
Одним из основных видов преобразования электрических схем, применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений – последовательного и параллельного.
Последовательное соединение
Последовательное соединение элементов цепи – соединение нескольких элементов, через которые проходит один и тот же ток.
Рисунок 3.1 Схемы последовательного соединения резисторов и индуктивностей
В соответствии с принципом эквивалентного преобразования и законом Ома имеем:
;
.
Параллельное соединение элементов
Параллельное соединение элементов – соединение нескольких элементов, при котором все эти элементы находятся под одним и тем же напряжением.
Рисунок 3. 2 Схема параллельного соединения сопротивлений
Имеем:
;
.
Рассмотрим
параллельное соединение двух сопротивлений.
В соответствии с
для участка цепи с
,
(на
вышеприведенном рисунке),
.
Поскольку
,
,
,
то:
.
Найдем
ток в каждой из параллельных ветвей
,
если известен общий ток
и значения сопротивлений
.
По закону Ома
;
.
Тогда:
.
Полученное выражение является формулой распределения токов: ток в одной из параллельных ветвей равен общему току, умноженному на сопротивление противоположной ветви и поделенному на сумму сопротивлений обеих ветвей.
Рисунок 3.3 Схема параллельно-последовательного соединения сопротивлений
Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно.
Если известны сопротивления
,
которые образуют между узлами
треугольник сопротивлений, то для
расчета сопротивлений
,
которые соединены в эквивалентную
звезду между теми же самыми узлами,
используют формулы:
;
;
.
(3.5)
а) б)
Рисунок 3.4 Схемы соединения сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)
Обратное преобразование осуществляется при помощи формул:
;
;
(3.6)
Эквивалентные преобразования схем с источниками.
Закон
Ома для участка цепи с источником.
Рассмотрим понятие одноконтурной и двухузловой схем.
Эти схемы характерны тем, что имеют один контур (рисунок 3.5) и один независимый контур (рисунок 3.6) соответственно.
Рисунок 3.5 Одноконтурная схема
Рисунок 3.6 Двухузловая схема
Найдем
ток в первой схеме. Обозначим напряжение
между точками
и
:
.
Тогда для двух условных контуров получим
два уравнения:
;
Из первого уравнения получаем закон Ома для участка цепи с источником напряжения:
Реальные источники электрической
энергии и их эквивалентные схемы.
Реальный источник напряжения
– активный элемент, который можно
представить в виде идеального источника
напряжения и последовательно соединенного
с ним пассивного элемента
,
(внутреннего сопротивления), которое
учитывает потери энергии в источнике
(рисунок 3.7).
Рисунок 3.7 Схема реального источника напряжения
По закону Кирхгофа можно
записать
,
откуда получаем выражение для вольт -
амперной характеристики реального
источника напряжения:
.
Штриховой линией показана ВАХ идеального источника напряжения: .
Рисунок 3.8 Вольт-амперная характеристика реального источника напряжения
Выясним, при каких условиях реальный источник приближается к идеальному. Найдем напряжение на зажимах реального источника, к которому подключается сопротивление нагрузки ( рисунок 3.7 )
(3.7)
Из уравнения 3.7 видно, что источник
напряжения можно рассматривать как
идеальный
,
если выполняется условие
.
Реальный источник тока – активный
двухполюсник, который состоит из
идеального источника тока и параллельного
включенного с ним пассивного элемента
,
который учитывает потери (рисунок 3.9).
Рисунок 3.9 Схема реального источника тока
В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать:
.
Это выражение описывает ВАХ реального источника тока (рисунок 3.10). Штриховой линией показана ВАХ идеального источника тока:
.
Рисунок 3.10 Вольт-амперная характеристика реального источника тока
Найдем ток в сопротивлении нагрузки, которая подключена к реальному источнику тока ( рисунок ). По формуле разложения токов
.
( 3.8)
Исходя из формулы (3.8), реальный источник тока приближается к идеальному при условии Ri >> RH.
Некоторые схемы реальных источников напряжения (рисунок 3.7) и тока (рисунок 3.9) эквивалентны. Выясним, при каких условиях? В соответствии с принципом эквивалентных преобразований, напряжение во внешней цепи (т.е. на опорной нагрузке) не может измениться при переходе от схемы (рисунок 3.7) к схеме (рисунок 3.9): U = U`.
Для первой схемы:
,
Для второй:
,
если U=U`, то
.
(3.9)
Итак, схемы реальных источников напряжения и тока эквивалентны, если выполняются условия (3.9).
Методические рекомендации.
После изучения подразделов 3.1 и 3.2 дайте письменные ответы на контрольные вопросы, приведенные ниже.