§1. Физическая модель сложного движения
Представим
следущую физическую модель: прямая
штанга вращается с постоянной угловой
скоростью
вокруг перпендикулярной к ней оси, а
груз
движется
относительно штанги. (Фиг.1).
Следует определить скорость и ускорение т. относительно неподвижной системы координат, т.е. абсолютную скорость и ускорение.
Фиг.1.
Очевидно,
что траектория т.
в
абсолютном движении представляет
некоторую кривую, несовпадающую ни с
окружностью, ни с радиальной прямой.
(Фиг.2). Следовательно абсолютная скорость
т.
как
касательная к траектории направлена
под каким-то непрямым углом к штанге.
Разложим вектор скорости
на
две составляющие:
,
направленную вдоль штанге, и
,
направленную перпендикулярно к штанге.
Составляющая
обусловлена
движением т.
относительно
штанги, составляющая
обусловлена вращением штанги и равна
скорости той точки штанги, в которой в
данный момент находится т.
,
.
Назовём составляющую
переносной скоростью, а составляющую
–
относительной.
Фиг.2.
Проследим,
какие изменения происходят с составляющими
и
во
время движения. Переносная скорость
изменяется
по направлению, т.к. соответствующая
точка штанги движется по окружности, а
также по величине. Изменение скорости,
отнесённое к единице времени, представляет
собой ускорение. Известно, что величина
ускорения при неравномерном движении
точки по окружности складывается
геометрически из нормального
и тангенциального
.
Назовём это ускорение переносным по
аналогии со скоростью и обозначим
.
Относительная скорость в общем случае
может изменяться по величине, что
обуславливает относительное ускорение
.
Этим,
однако, не исчерпываются все возможности
изменения переносной и относительной
скорости. Вследствие движения т.
вдоль
штанги изменяется её расстояние
до центра вращения, а, следовательно, и
величина переносной скорости. Вектор
относительной скорости поворачивается
вместе со штангой, т.е. изменяется по
направлению. Оба эти изменения выражаются
векторами, направленными перпендикулярно
к штанге (Фиг.3). Изменение переносной
скорости
по величине происходит в направлении
этой скорости, т.е. перпендикулярно
штанге. Изменение направления относительной
скорости
за
малый промежуток времени выражается
вектором, перпендикулярным вектору
относительной скорости, т.е. перпендикулярно
штанге. Оба эти изменения скоростей не
учтены в переносном и относительном
ускорениях и обуславливают некоторое
добавочное ускорение. Величина добавочного
ускорения указанных выше изменений
относительной и переносной скорости
за единицу времени.
Фиг.3.
Рассмотрим
два положения т.
разделённые
малым промежутком времени
(Фиг.3).
Обозначим переносную скорость в первом
положении
,
а во втором
.
Отложим вектор
на векторе
,
тогда интересующее нас изменение
скорости определяется так:
,
но
,
тогда
.
Теперь
обратимся к относительной скорости.
Построим рядом с вектором
вектор
,
совместив их начала. Так как
интересующее нас изменение скорости
может
быть найдено из образующегося здесь
треугольника:
.
Итак,
оба изменения скорости
и
направлены
в одну сторону, одинаковы по величине
и определяют добавочное ускорение:
(1.1)
Направление добавочного ускорения зависит как от направления , так и от направления вращения. При изменении направления вращения на противоположное изменяется направление и и, следовательно, изменится на противоположное направление добавочного ускорения. В этом можно убедиться, произведя построение аналогичное Фиг.3. Если относительная скорость изменит своё направление, то и изменит направление на противоположное (т.к. больше ) и изменит направление на противоположное (т.к. поворот вектора будет происходить в противоположную сторону).