§3.Векторная форма кинематической теоремы Кориолиса

Рассмотрим задачу о сложном движении в общем случае пространственного движения. При этом воспользуемся наиболее удобным и экономным векторным способом доказательства кинематической теоремы Кориолиса. Пусть т. находится в среде и движется относительно ее произвольным образом. Сама среда движется в пространстве относительно неподвижной среды . Введем координатные системы и , связав их с неподвижной и подвижной средой. Пусть и радиус-векторы т. в неподвижной и подвижной среде (Фиг.8).

Фиг.8.

Из векторного треугольника на фиг.8 следует:

(1.11)

где — радиус-вектор т.О. разложим радиус-вектор по ортам подвижной системы координат: (1.12)

здесь выражают проекции радиус-вектора на подвижные оси. Определим скорость т. в неподвижной системе координат (абсолютную скорость), для чего продифференцируем выражение (1.11) с учетом (1.12) по времени:

(1.13)

Для определения ускорения т. в неподвижной системе продифференцируем выражение (1.13) и сгруппируем члены:

(1.14)

Проанализируем полученные выражения. Рассмотрим три последних члена выражения (1.13). Они совпадают с тем выражение, которое получается при разложении по осям вектора скорости т. , если бы среда была неподвижна и, следовательно, все предыдущие члены выражения (1.13) равнялись нулю. Естественно, что в случае подвижной среды, этот вектор можно назвать относительной скоростью.

Четыре оставшихся члена совпадают с ем выражением для скорости т. , которое получилось бы, если бы т. прекратила относительное движение в среде , «застряла» в ней в виде т. и двигалась бы только вместе со средой С. Эту скорость называют переносной. Следовательно, выражение (1.13) представляет известное соотношение:

(1.15)

скорость т. в неподвижной среде равна геометрической сумме скорости той точки подвижной среды , в которой в данный момент находится т. (переносной скорости) и скорости т. относительно подвижной среды (относительной скорости).

Первые четыре элемента выражения (1.14) получаются путем дифференцирования выражения для переносной стороны, если считать постоянными, а — переменными. Эти элементы составляют переносное ускорение. Следующие три элемента получаются при дифференцировании выражения для относительной скорости в предположении, что — постоянные, — переменные. Эти элементы составляют относительное ускорение. Наконец, последний член выражения (1.14) представляет сумму выражений, получаемых при дифференцировании переменной скорости в предположении, что — постоянны, а —переменные и дифференцировании относительной скорости в предположении, что переменны, а — постоянны.

Таким образом, имеем:

(1.16) Ускорение т. М в неподвижной среде равно геометрической сумме ускорения той точки подвижной среды , в которой в данный момент находится т. (переносное ускорение), ускорения т. относительно подвижной среды (относительного ускорения) и дополнительного ускорения, возникающего как за счет поворота подвижной системы координат, так и относительного движения т. (кориолисово ускорение).

Выражение для кориолисова ускорения можно записать по-другому, если учесть, что изменение ортов происходит только по направлению за счет вращения подвижной среды с угловой скоростью. Можно показать, что скорости концов ортов определяются по формулам , ,

.

где — вектор угловой скорости подвижной среды. Подставив их в выражение для кориолисова ускорения получим

(1.16)

Множитель в круглых скобках представляет относительную скорость, поэтому кориолисово ускорение приводится к виду

(1.17)

из выражения (1.17) как частные случаи следуют выражения (1.10) и (1.1). отметим, что в случае пространственного движения кориолисово ускорение отсутствует, если переносное движение является поступательным , или тело покоится в подвижной системе , или вектор относительной скорости (на основании свойства векторного произведения).