68. Описание выбора на языке бинарных отношений

Язык, на котором описывается выбор, – это язык бинарных отношений. Его большая, нежели у критериального языка, общность основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно; однако если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна.  Таким образом, основные предположения этого языка сводятся к следующему:  1) отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится;  2) для каждой пары альтернатив (x, y) некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);  3) отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.  Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (x, y). Удобно использовать обозначение xRу, если x находится в отношении R с y, и x y – в противном случае. Множество всех пар {(x, y), x, y  X} называется полным(“универсальным”) бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные пары (x, y) удовлетворяют условиям, накладываемым отношениемR, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, т.е. R  X  X.  Задать отношение – это значит тем или иным способом указать все пары (x, y), для которых выполнено отношение R. 

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Способы описания выбора на языке бинарных отношений

Существует четыре разных способа задания отношений (рис. 7.3); преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества X.  Первый, очевидный, способ состоит в непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества X.  Второй удобный способ задания отношения R на конечном множестве – матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами a_ij(R) = {1: x_iRx_j; 0: x_i x_j} для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение “x_i – победитель x_j”) .  Третий способ – задание отношения графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствие (пронумерованные) элементы множества X, и если x_iRx_j, то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x_j; если же x_i x_j, то дуга отсутствует.  Для определения отношений на бесконечных множествах используется четвертый способ – задание отношения R сечениями.

Множество R⁺(x) = {y  X | (y, x)  R} называется верхним сечением отношения R, а множество 

R^–(x) = {y  X | (x, y)  R} – нижним сечением. Иначе говоря, верхнее сечение – это множество всех y  X, которые находятся в отношении yRx с заданным элементом x  X, а нижнее сечение – множество всех y  X, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений. Приведенные ниже примеры иллюстрируют все четыре способа представления конкретных отношений.