2.3.Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством

.

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число, вычисленное по формуле

. (6)

Пример 2. Найти сумму и разность комплексных чисел и .

Решение. Чтобы найти сумму комплексных чисел, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:

.

Вычитание комплексных чисел выполняется аналогично сложению:

.

Ответ. , .

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством

. (7)

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, необходимо умножить их по правилу умножения двучленов, помня что i² = -1 .

Проиллюстрируем умножение комплексных чисел на следующем примере:

.

Следует отметить, что произведение комплексного числа z на сопряженное число равно действительному числу

. (8)

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются

. (9)

Возведение комплексных чисел в степень n выполняют по формуле Муавра

. (10)

Пример 3. Вычислить .

Решение. Обозначим выражение, стоящее в основании степени, через z₁

.

Найдем модуль и аргумент числа z₁:

, .

Вычислим значение по формуле (10):

.

Ответ. .

Правило деления. Чтобы разделить число z₁ на число z₂ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное от деления чисел и .

Решение.

.

Ответ. .

Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел определяется как действие, обратное возведению в степень.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству , т. е. .

, где . (11)

Замечание. Рассмотренная задача извлечения корня n-ой степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, . Для решения уравнения нужно найти n значений , а для этого необходимо найти модуль и аргумент комплексного числа и использовать формулу извлечения корня.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем исходное уравнение :

,

.

Примем подкоренное выражение за комплексное число z₁= .

Определим модуль и аргумент числа z₁:

, .

Полученные значения и подставим в формулу (11):

.

Заметим, что справа стоит - арифметический корень, его единственное значение равно 1.

Придавая последовательно значения от 0 до 5 , выписываем все возможные решения уравнения:

если , то ,

, то ,

, то ,

, то ,

, то ,

, то .

Ответ. Уравнение имеет шесть корней:

, , , , , .

Пример 6. Дано комплексное число . Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения .

Решение.

а) чтобы получить алгебраическую форму числа z, умножим его числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю

.

- это алгебраическая форма числа z.

Для записи числа z в тригонометрической форме вычислим | z | и arg z:

, .

Тригонометрическая форма числа z:

.

б) запишем уравнение в виде , откуда .

Представим число - z в тригонометрической форме

.

Корни уравнения вычислим по формуле (11)

.

При к = 0 ,

к = 1 ,

к = 2 .

Ответ. а) алгебраическая форма числа z: , тригонометрическая форма числа z: ,

б) уравнение имеет три корня:

, , .