2.4 Задачи для самостоятельного решения

1. Найти .

2. Найти .

3. Найти .

4. Привести к тригонометрическому виду комплексные числа:

а) ,

б) .

5. Найти .

6. Найти .

7. Решить уравнения:

а) ,

б) .

Ответы: 1) 2) 3) 4а)

4б) 5) 6) , ,

7а) 7б) , ,

.

2.5 Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Комплексные числа»

1. Комплексные числа: основные понятия и определения. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

2. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексного числа, связь между ними. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.

3. Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n-ой степени.

4. Решение уравнений вида .

3. Линейные преобразования собственные значения и собственные векторы

Пусть задано линейно преобразование вида

_{, (1)}

которое вполне определяется матрицей коэффициентов

( )

.

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

Вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А , если найдется такое число λ , что выполняется условие .

Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору .

Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения

. (2)

Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений

. (3)

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

.

Раскроем определитель по правилу треугольника

В результате преобразований последнее выражение примет вид:

.

Разложим левую часть уравнения на множители

,

,

.

Решением уравнения будут значения , , которые являются собственными значениями матрицы А.

Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений

Найдем собственные векторы, соответствующие значению .

При получим систему уравнений

,

или

.

Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:

,

откуда

.

Если принять , а , то значение будет равно , где и - произвольные действительные числа.

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством

.

Найдем собственные векторы, соответствующие .

При получим систему уравнений

или

.

Запишем матрицу этой системы уравнений

.

Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка

,

то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с перенесем в правые части уравнений:

.

Пусть , где - любое действительное число. Тогда система уравнений примет вид:

.

Решим эту систему методом Гаусса

 ,

,

, .

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством

или

.

Ответ. При собственном значении собственные векторы равны . При собственном значении собственные векторы равны .