8. Движение частиц в центральном поле. Центральные поля. Задача двух тел и приведенная масса. Задача Кеплера.Космические скорости.

Задача Кеплера: при каких услов и по какой траектории будут двиг-ся тела в поле тяжести Земли или какой–либо другой планеты, т.е. она сводится к задаче о движ-и тел в центрально симметр. полях, создаваемых телами конечных масс.

Расс движ-е тела массой m в поле другого более массивного тела M (M>>m). Это позволяет считать центр-ое тело M неподв. Силы тяготения–это консервативные и центральные силы. При движ-и тел в центрально симметр-м поле должны выполняться 2 закона–-н сохр-я энергии (система консервативна) и сохр-я момента имп-са (силы центральные). . Чтобы найти ур-е траектории движ-я тела m, нужно записать з-ны сохр-я ч/з коорд и скор-ти., и Закон сохранения момента импульса запишем в проекции на ось вращения: const._.

Воспользовавшись полярной системой координат и представив скорости v и  через производные полярного радиуса и полярного угла , где . Получаем сист двух дифференц-х уравн-ий, решен кот дает уравн-е траектории в полярных коорд-х ,e–эксцентриситет орбиты . Траектория предст собой кривую второго порядка и в зависимости от эксцентриситета может быть: е=0 – окружность, е=1 – парабола, 0<е<1 – эллипс, е>1 – гипербола.

Движ-е наз ограниченным или финитным, если при движ-и по окруж-ти или эллипсу тело не может покинуть планету.

первая космическая скорость(е=0)

Зависит от массы планеты и высоты траектории над ее поверхн-ю. При достиж-и телом 1-й космич-й скор-ти тело будет двиг-ся по круговой орбите вокруг планеты.

При движ-и по параболе или гиперболе тело покидает планету. Это неограниченное, или инфинитноедвиж-е.

При е=1 -вторая космическая скорость (параболическая). При достиж телом второй космич скор-ти оно навсегда уходит за пределы тяготения планеты.Сущ-т 3-я косм.скор-ть, она означает то, что спутник запущенный с такой скор-ю (16,7 км/с) может уйти за пределы солн-ой с-мы.

Задача двух тел. Приведённая масса.Кеплерова задача.

Важной моделью мех-ки движ-я (взаимод-я тел) явл-ся движ-е двух взаимодейств-х мат-ых т-к. На расстоян это взаимод-е в мех-ке представлено гравитац-ем, поле сил кот– центр-ое. Важно и то, что матем-ки задачу двух взаимодейств-их матер-ых т-к можно свести к задаче движ-я одной матер-ой т-ки в неком силовом поле.

Приведенная масса. 1. Опред усл-я, прикот задачу движ-я двух взаимодейств-х матер-х т-к можно свести к задаче одной матер-ой т-ки во внешнем поле. Поле считаем потенц-ным. 2. Построим лагранжиан двух взаимод-х матер-х т-к.

Его знание позв постр ур-ие Лагранжа, дифференц-ое ур-е, и решить задачу мех-ки.3. Возьмём ИСО в центре масс и введём обозначение: .

Из уравнений

4.ПодстВыражя вЛагранжиан:

Она характериз массу сист (инертныесв-васист) двух м. т-к

5. Формально задача свелась к движ-ю одной м. точки.

5. Закон сохр импульса. Импульс. Изменение имп-са М.Т. и системы. З-н сохр-я имп-сазамкн-й системы. Примеры проявления з-на сохр-я имп-са.Импульсом мат. точки называется произведение .Для сист. мат. точек: импульс сист. равен сумме импульсов всех мат. точек входящих в систему Совок. тел, взаимод. м\д собой и могут рассм в данном дв-ии как МТ-и, наз СМТ. На каждi-тую частицу системы из n МТ (СМТ) действ силы как со стордр част сист – это внут силы, так и со стор тел, нах-ся вне данной сист, – это внеш силы.

– импульс i-той частицы, то дв-е СМТ опредсистур:

Теорема о движении центра масс.По 3-му закону Ньютона, для каждых двух част системы сумма сил, с которони взаимодействуют, равна нулю: . сумма всех внутренних сил обращается в нуль. Отсюда .

Преобразуем левую часть. .Сумму можно представить так: , где m= – масса всех частиц системы, а – радиус-вектор некоторой воображаемой точкиС, называемой центром масс СМТ. Отсюда

где – скор-тьдвиж-я центра масс системы.

Уравн-е движ-я СМТ принимает вид: .

ЦМ систдв-ся как МТ, масса кот=суммарной массе всей сист, а дейст-я сила=геом сумме всех внешсил,дейст-х на част систЭтотеор о дв-и ЦМ. (Н-р, центр масс осколков снаряда, разорвавшегося в воздухе, продолжает движение по той же траектории, по кот-й двигался бы неразорвавшийся снаряд).

З-н сохр имп. Рассмдвиж-е сист МТ, вкот действуют только внут силы. Такие СМТ наззамкнутыми. Сумма внеш сил в этом случае=нулю, а уравдв-я СМТ принимает вид:

,

Имп замк СМТ остается неизменным как по величине, так и по напр-ю. Это з-н сохр-я импульса замкнутых систем. ЦМ сист в этом сл дв-ся прямол и равном.

П од д-ем только внут сил в СМТ может проис лишь обмен имп м\д отд её част, но невозможно измен, возникновение или уничтож имп-са СМТ в целом.

Примеры проявления з-на сохр-я имп-са: Абсне упр соуд. При абс неуп соуд-ии, тела после соуд-я ост-ся в деф-ом сост-и и слип. (Н-р два пластилиновых куска). Ограничимся случаем центр-го удара шаров, когда их ЦМ дв-ся вдоль одной прямой.

При неупругой деф-ции тел часть их мех эн-и превр-ся во внутр эн-ю, в рез-те з-н сохр мех эн не вып. Вып только з-нсохр имп-са. Сумма имп до удара = сумме имп после удара.

.Из ур-я сохр имп можно найти люб из неизв вел. Нап, скор соедся после удара шаров.

Абс упр соуд. Это предельный случай, когда мех-я эн-я сист тел полностью сохр-ся. После удара тела расх-ся, поэтому задача усложн-ся тем, что опр-ть нужно скор дв-я не одного, а двухтел. Поэтому прих-ся исп оба з-насохр-я.

Сохр имп: .

Сохр мех эн: .

Из этих урав-ий получаем скор-ти обоих тел после удара .

Рассмотрим частные случаи:а)Сталк-ся шары равных масс, m₁ =m₂ = m. В этом случ. v₁ =v₀₂ , v₂ =v₀₁ , шары обм скор-ми.б)Соуд-ие шара со стенкой. Пусть m₂  – масса стенки, полагаем m₂ >>m₁ . В этом случае v₂ =v₀₂  – скор.дв-я стенки, практич не изм-ся при ударе.С к-ть упруго ударившегося о стенку шара изм-ся по велич на удвоенную скор.стенки. Это позв. объясн измен-е темпер-ы газа при его сжат или расшир. Если газ расш-ся, то молек. ударяются с "убегающим" поршнем. Скор молекул уменьш по велич на удвоенную скор-ть поршня. Сред кин энер молек газа падает, его темп сниж.При сжатии все происх наоб. Ск мол, сталк с приближающимся порш, увел-ся, темп газа растет.