16.Оценка точности результатов многократных, равноточных измерений одной и той же величины по вероятнейшим поправкам. Формулы, порядок вычислений.

В практике геодезических измерений чаще всего точное значение измеряемой величины бывает неизвестно, следовательно использовать это значение в оценке точности их результатов невозможно (по формулам Гаусса).

Вероятнейшие ошибки, которые близки к случайным, т.к L→x и отличаются лишь тем, что их всегда можно получить, следовательно они могут быть использованы для вычисления СКО.

Запишем выражение вероятнейших ошибок:

V₁=l₁-L

V₂=l₂-L (1)

………

V_n=l_n-L

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…… (2)

∆_n=l_n-x

Вычтем из (2)-(1) и получим:

∆₁-v₁=l₁-x-l₁+L

∆₂-v₂=L-x

…… (3)

∆_n-v_n=L-x

L-x=M – это СКО арифметической середины

∆₁=M+v₁

∆₂=M+v₂ (4)

_………..

∆_n=M+v_n

Возведем (4) в квадрат:

∆₁²=M²+v₁²+2Mv₁

∆₂²=M²+v₂²+2Mv₂ (5)

_………..

∆_n²=M²+v_n²+2Mv_n

Складываем равенства почленно и делим их на n:

([∆²]/n)=M²+([v²]/n)+2M([v]/n), по гауссу ([∆²]/n =m_l²

где: 2M([v]/n_→∞)→0

При увеличении кол-ва измерений будет стремиться к 0.

M=m²/n; M=m_e/√n; m²= (m²/n)+([v²]/n).

Решаем это уравнение алгебраически:

m²-(m²/n)=([v²]/n); m²(1-1/n)=([v²]/n)

m_l=√([v²]/n-1) –формула Бесселя.

Это СКО одного измерения по вероятнейшим ошибкам при n→∞.

При небольшом числе измерений для оценки точности вычисляют ошибку ошибки или надежность результатов вычислений:

m_ml=m_l/(√2(n-1)).

17.Оценка точности результатов равноточных измерений по разностям двойных измерений. Формулы, порядок вычислений.

На практике часто производят 2-ые равноточные измерения.

Пусть некоторые однородные величины измерены дважды и получены результаты: l₁^',l₂^'…l_n^' и l^"₁,l₂^"…l_n^".

При абсолютно точных измерениях разности этих величин должны быть равны 0. Из-за влияния различных ошибок этого не получается, если предположить, что влияние оказывают только случайные ошибки, то разности можно считать случайными ошибками. d=l_i^'-l_i^"

Значит по ним как по случайным ошибкам можно вычислить СКО с применением формулы Гаусса:

m_d=√[d²]/n.

Формула для определения СКО одного измерения: m_l=√([d²]/2n)

Для оценки точности требуется вычислить СКО вероятнейшего значения получаемого через разность 2-ных измерений: m_l=0.5√([d²]/n)

Эти формулы справедливы когда в измерениях отсутствуют систематические ошибки. Если есть систематическая ошибка то ее нужно определить и исключить. Если бы в разностях не было случайных ошибок, а была бы одна систематическая, то все разности равнялись бы систематической ошибке, тогда наиболее надежное значение систематической ошибке получается по формуле арифметического среднего θ =[d]/n. Исключая величину систематической ошибки из разности получим остаточные разности ∂_i=d_i- θ, которые имеют тот же смысл, что и вероятнейшие ошибки. Поэтому можно применять формулы Бесселя. m_d=√[∂²]/n-1, m_e=md/√2, m_l=√[∂²]/2(n-1), m_L=0.5√[∂²]/n-1. Правильность вычислений контролируют по формулам: [∂]=0, [θ ²]=[d²]-[d²]/n, [∂²]=[ ∂d].

18. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины. Вывод формулы.

M=L-x.

Для вывода этой формулы примем

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…,

∆_n=l_n-x

Сложим и разделим все и получим [∆]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат М²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²+2∆₁∆₂+2∆₁∆₃+…+2∆₁∆_n+2∆₂∆₃+2∆₂∆₄+…+2∆₂∆_n+…+2∆_n-1∆_n)/n²

Т.к. в этой формуле на основании свойства случайных ошибок удвоенные произведения могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет стремиться к 0, поэтому отбросив их получим приближенное равенство. M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²)/n²=[∆²]/n².

М=m_l/√n,

M_L=m_l/√n-СКО вероятнейшего значения.

Следовательно, СКО арифметической середины равноточных измерений одной и той же величины в √n раз меньше СКО одного измерения. Следовательно, вероятнейшее значение будет наиболее точным по сравнению с каждым результатом измерения.

19.СКО функции общего вида: U=F(X₁,X₂,…,X_N). Вывод формулы.

U=f(X₁,X₂,…,X_n), где X₁,X₂,X_n - непосредственно измеренные величины содержащие ошибки ∆х₁,∆х₂,∆х_n. Если меняются значения аргументов функции на величину ошибки, то меняется и сама функция U+∆U=f(x₁+∆х₁,х₂+∆х₂,,х_n+∆х_n) Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми его членами, содержащими лишь первые степени малых ошибок, получаем: U+∆U=f(x₁,x₂,…,x_n) + (∂f/∂x)∆x₁+(∂f/∂x₂₎∆x₂+…+(∂f/∂x_n)∆x_n.

∆U=∂f/∂x_1*∆x₁+∂f/∂x_2*∆x₂+…+∂f/∂x_n*∆x_n,

m_U²=(∂f/∂x₁)²mx₁²+(∂f/∂x₂)mx₂²+…+(∂f/∂x_n)mx_n²,

m_U= √∑(∂f/∂x_i)²m_Xi²

20.СКО функции вида U=KX(K-const). Вывод формулы.

U=KX, где K-const, х -непосредственно измеряемая величина, полученная в результате однократного измерения со случайной ошибкой ∆x: U+∆U=K(x+∆x), где ∆U-случайная ошибка ∆U=K∆x.

При многократном измерении величины Х получим ряд соотношений:

∆U₁=K∆x₁

∆U₂=K∆x₂

_{…………………}

∆U_n=K∆x_n

Возведем в квадрат каждый член функций, сложим и разделим на n:

[∆U²]/n = K² [∆x²]/n

m²_u=K²m²_x ; m_u=Km_x – величина С.К.О, произведение с постоянным множителем.

Функция имеет следующий вид: U=K₁X₁+ K₂X₂+…+ K_nX_n , где К₁, К₂,К_n –постоянные величины для каждой группы измерений. X₁, X₂, X_n – независимые величины в каждой группе измерений, определенные со С. К.О. m₁, m₂ … m_n.

m²_u=K₁²m²_x1+ K₂²m²_x2 + …+ K_n²m²_xn

Если m_X1=m_X2=…=m_Xn, то m_u=m_x√∑ⁿ_i=1K²_i

21. СКО функцийй вида U=X+Y. Вывод формулы.

U=X±Y (1), где х,у -независимые величины, полученные в результате однократных непосредственных измерений. Если измеренные величины были определены со случайными ошибками, то тогда и сумма их будет содержать ошибку

U+∆U=(x+∆x)+(y+∆y)(2).

Вычтем из (2)-(1) ∆U=∆x+∆y.

При многократных непосредственных измерениях каждой величины получим ряд ошибок и ряд уравнений функций ∆U₁=∆x₁+∆y₁,

∆U₂=∆x₂+∆y₂

,…..,

∆U_n=∆x_n+∆y_n.

Возведем в квадрат и сложим почленно и остаток разделим на n. При многократных измерениях каждой величины произведение обладает всеми свойствами и при увеличении числа измерений, произведение стремится к нулю. [∆U²]=[∆x²]+[∆y²]+2[∆x∆y].

[∆U²]/n =[∆x²]/n+[∆y²]/n,

m²_U=m_x²+m_y²

m_U=√(m_x²+m_y²⁾- формула для алгебраической суммы независимых величин.

m=m_x=m_y,

m_U= m√2.- СКО