§3.2.3. Идеальные механические двухполюсники

Механическое движение бывает поступательным и вращательным. Вместе с тем, механические усилия не всегда приводят тела в движение. При малых усилиях тела могут только деформироваться. Таким образом, механические двухполюсники могут быть чрезвычайно разнообразными.

Идеальный двухполюсник вязкого трения. При поступательном перемещении тел относительно друг друга возможно возникновение сил трения. Примем в качестве фазовой потенциальной переменной скорость перемещения v, а фазовой потоковой переменной – силу F. Рассмотрим вязкое трение в первом приближении описываемое формулой . Так как формула напоминает закон Ома, то коэффициент пропорциональности назван сопротивлением вязкого трения. Тогда математической моделью вязкого поступательного трения является уравнение .

При вращательном движении примем в качестве потенциальной фазовой переменной угловую скорость , а в качестве потоковой фазовой переменной момент сопротивления М. При вязком трении в цапфе момент трения определяется как . Здесь d – диаметр вала, l – длина цапфы. Если постоянный множитель обозначить как механическое сопротивление , то математической моделью вязкого вращательного трения является уравнение .

Идеальные двухполюсники упругих перемещений. Существуют четыре типа упругих перемещений соответствующих сжатию твёрдых тел, сжатию пружин, изгибу упругой балки, скручиванию валов.

Пружина. Между приложенной к ней силой Р и малым перемещением х существует с вязь , где с – жёсткость пружины. Возьмём производную по времени . Если за потенциальную характеристику принять скорость v, а за потоковую – силу Р, то получим выражение - математическую модель пружины. Здесь - податливость пружины; аналог индуктивности в электрических цепях.

Для спиральной пружины .

У пругое тело. В соответствии с законом Гука , где - напряжённость в материале стержня, l – длина стержня, Е – модуль упругости материала стержня при растяжении (модуль Юнга), - удлинение тела. Взяв производную по времени, умножив на сечение стержня S, получим математическую модель сжатия упругого тела , где .

Изгиб. Аналогично записывается математическая модель прогиба упр угой балки , где - податливость упругой балки, J - момент инерции балки относительно оси изгиба.

К ручение. Если упругий стержень, защемлёный одним концом, имеет крутящий момент на другом, то сечение стержня на его конце повернётся на некоторый угол , равный . Здесь G – модуль сдвига материала стержня, - полярный момент сечения стержня. Дифференцированием по времени находим математическую модель скручивания упругого стержня или , где - податливость упругого стержня на скручивание.

§3.2.4. Идеальные двухполюсники движущихся тел

Поступательное движение. Согласно второму закону Ньютона между силой и ускорением существует связь . Математической моделью движущегося поступательно твёрдого тела является уравнение , где ёмкостный аналог массы.

Вращательное движение. Математической моделью вращающегося твёрдого тела является уравнение , где ёмкостный аналог момента инерции.

Обратите внимание на момент импульса и количество вращения и . Аналогом импульса является потокосцепление.