§3.2.5. Идеальные гидравлические (пневматические) двухполюсники
В
качестве потенциальной фазовой переменной
гидравлической подсистемы принимается
давление Р,
в качестве потоковой фазовой переменной
- массовый расход в единицу времени
.
Гидравлическое
сопротивление.
Из курса физики известно, что для
достаточно длинного трубопровода при
ламинарном движении жидкости её расход
пропорционален разности давлений на
концах трубопровода. В частности, для
цилиндрического трубопровода расход
определяется по формуле
.
Принимая величину
как гидравлическое сопротивление
трубопровода, получаем математическую
модель ламинарного движения жидкости
.
Здесь
- кинематическая вязкость, R
и l
–радиус и длина трубопровода.
Гидравлическая
ёмкость (сжимаемость жидкости).
Уравнение сжимаемости жидкости в
некотором объеме V
при воздействии давления Р
определяется как
.,
где
- коэффициент сжимаемости жидкости,
.
Умножим обе части уравнения на плотность
:
.
Продифференцируем уравнение по времени
.
Так как
- скорость движения жидкости,
то
и
,
где
- аналог
электрической емкости.
Гидравлическая
индуктивность (инерционность жидкости).
Рассмотрим участок трубопровода длиной
l
с давлениями на концах
и
.
В соответствии с уравнением Эйлера
(закон движения
идеальной – несжимаемой жидкости)
,
где
- скорость движения жидкости. Полагая
скорость изменения давления постоянной
по всей длине трубопровода, переходя
от производной к конечным разностям,
перепишем уравнение к виду
.
Для получения в левой части уравнения
массового расхода умножим обе его части
на
,
т. е.
,
или
,
где
- аналог
электрической индуктивности.
Закон
движения реальной жидкости
описывается уравнением Навье - Стокса,
которое для одномерного случая, выглядит
как
,
где
-
генерируемые массовые силы;
-
вторая вязкость. Выделяя участок
трубопровода, считая
,
получим, что участок может быть представлен
гидравлическими сопротивлением и
индуктивностью (массовыми силами
пренебрегаем), т. е.
,
где
.
§3.3. Идеальные четырёхполюсники
Идеальные источники
Независимые идеальные источники принято представлять двухполюсниками, зависимые – четырёхполюсниками. В данном разделе мы рассматриваем только зависимые источники.
Источник
напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН):
,
.
Здесь k – безразмерный коэффициент
пропорциональности.
Источник
напряжения, управляемый током
(ИНУТ):
,
.
Здесь k –коэффициент пропорциональности,
имеющий размерность сопротивления.
Источник
тока, управляемый напряжением
(ИТУН):
,
.
Здесь k – коэффициент пропорциональности,
имеющий размерность проводимости.
Источник
тока, управляемый током (ИТУТ):
,
.
Здесь k – безразмерный коэффициент
пропорциональности.
На схемах идеальные управляемые источники энергии обозначается следующим образом.
Уравнения идеальных источников удобно записывать в матричном виде, вводя вектор-столбец напряжений и вектор-столбец токов. Например, для ИНУН
Пример:
сухое трение. Сила сухого трения
не зависит от скорости относительного
перемещения двух тел, но зависит только
от силы сжатия двух тел
.
Таким образом, сила трения может быть
представлена в виде источника тока,
управляемого током.
Аналогично можно записать для момента
сухого трения
.
Здесь
- радиус действия силы трения.