Задания к контрольной работе 3
Задание 1. Вычислите криволинейные интегралы первого или второго рода.
0.
,
где
есть полуокружность
1.
,
где
есть окружность
.
2.
,
где
есть окружность
3.
вдоль дуги
кривой
от точки A(0,1) до точки
(–1,
).
4.
,
где
является аркой циклоиды
где
.
5.
вдоль границы
треугольника АВС с вершинами A(1,0),
В(1,1), С(0,1) против часовой
стрелки.
6.
,
где
есть окружность
7.
вдоль дуги
кривой
от точки A(1,0) до точки
B(
,1).
8.
,
где
есть эллипс
.
9.
вдоль дуги
параболы
от точки A(0,0) до точки
B(1,1).
Задание 2. Вычислите кратные интегралы либо объёмы заданных тел.
0.
,
где область
задана неравенствами
,
.
1
,
если область
ограничена линиями
.
2. Объём части
цилиндра
заключённого между плоскостями
3.
,
где область
определяется неравенствами
.
4.
,
если область
ограничена плоскостями
.
5. Объём тела,
ограниченного сферой
4
и параболоидом
.
6.
,
если область
ограничена цилиндром
и
плоскостями
.
7.
, если область
ограничена линиями
,
8.
,
если область
ограничена параболоидом
и плоскостью
.
9. Объём тела,
ограниченного координатной плоскостью
параболоидом
и цилиндром
.
Задание 3. Вычислите поверхностные интегралы первого или второго рода или площадь заданной поверхности.
0. Поток
векторного поля
через боковую поверхность цилиндра
в направлении внешней нормали.
1.
,
если
есть часть поверхности параболоида
,
.
2. Поток
векторного поля
через поверхность полусферы
в направлении внешней нормали.
3. Площадь части
поверхности параболоида
4. Поток
векторного поля
через полную поверхность параболоида
,
в направлении внешней нормали.
5.
,
если
есть часть поверхности конуса
,
6. Площадь части
поверхности конуса
заключённого
внутри цилиндра
.
7. Поток
векторного поля
через боковую поверхность конуса
в направлении внешней нормали.
8. Площадь части
сферы
,
заключённой внутри конуса
9. Поток
векторного поля
через поверхность полусферы
в направлении внешней нормали.
Задание 4. Вычислите циркуляцию или
поток векторного поля
с помощью теоремы Стокса или
Гаусса–Остроградского.
0.
вдоль окружности
в направлении против часовой стрелки
относительно орта
.
1. Поток
векторного поля
через полную поверхность куба
в направлении внешней нормали.
2. Поток
векторного поля
через полную поверхность конуса
в направлении внешней нормали.
3.
вдоль контура треугольника АВС,
расположенного в плоскости
в направлении A(–4,0,0),
В(0,4,0), С(0,0,2).
4.
вдоль окружности
против часовой стрелки.
5.
вдоль окружности
против часовой стрелки относительно
орта
.
6. Поток
векторного поля
через полную поверхность пирамиды,
ограниченной плоскостями
,
в направлении внешней нормали.
7.
вдоль контура четырёхугольника ABCD,
который обходится в направлении вершин
A(0,0,0,), В(0,1,0),
С(0,1,2), D(0,0,2).
8. Поток
векторного поля
через полную поверхность цилиндра
в направлении внешней нормали.
9. Поток
векторного поля
через полную поверхность куба
в направлении внешней нормали.
Задание 5. Убедитесь в том, что
векторное поле
потенциально,
и найдите потенциал этого поля.
0.
1.
+
+
2.
+
+
.
3.
+
+
.
4.
+
.
5.
+
+
.
6.
+
+
.
7.
+
+
.
8.
.
9.
+
+
.
Задание 6. Исследовать на сходимость данные числовые ряды.
0. а)
;
б).
;
в)
.
1. а)
;
б)
;
в)
.
2. а)
;
б)
;
в)
.
3. а)
;
б)
;
в)
.
4. а)
;
б)
;
в)
.
5. а)
;
б)
;
в)
.
6. а)
;
б)
;
в)
.
7. а)
;
б)
в)
.
8. а)
;
б)
;
в)
.
9. а)
;
б)
;
в)
.
Задание 7. Дана функция
.
Требуется: а) разложить эту функцию в
ряд Тейлора по степеням
и найти область сходимости полученного
разложения; б) разложить данную функцию
в ряд Фурье на промежутке (а, b).
0. а)
;
б)
.
1. а)
;
б)
2. а)
;
б)
.
3. а)
;
б)
4. а)
;
б)
5. а)
;
б)
.
6. а)
;
б)
7. а)
;
б)
.
8. а)
;
б)
9. а)
;
б)
.
Задание 8. Найти общее решение или решение задачи Коши для заданных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
0. а)
;
б)
.
1. а)
;
б)
.
2. а)
;
б)
.
3. а)
;
б)
.
4. а)
;
б)
.
5. а)
;
б)
6. а)
б)
.
7. а)
,
;
б)
.
8. а)
;
б)
9. а)
;
б)
,
.