Методические указания к контрольной работе 4

Задание 1. Комплекснозначная функция действительной переменной t называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1. На любом конечном интервале (a,b) функция непрерывна кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.

2. при .

3. Существуют действительные числа такие, что

| .

Преобразованием Лапласа оригинала или её изображением

называется функция комплексной переменной

. (18)

Пример. Найдём изображение функции Хевисайда

Из (18) имеем = = , так как для при .

Отметим, что если функция удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2, то функция

условию 2 удовлетворяет, а значит, является оригиналом. Например,

функции являются оригиналами. На практике принято опускать множитель в записи функции, считая эти функции равными нулю при . Например, вместо пишут . Следовательно, с учётом сказанного выше, 1 имеет изображение . Тот факт, что оригинал имеет изображение принято записывать так .

Свойства преобразования Лапласа

1. Смещение изображения. Если , то для любого комплексного будет .

Так как , то .

2. Линейность. Если , , то для любых комплексных будет .

Из равенства , используя свойства 1 и 2 преобразования Лапласа, получим, что .

Аналогично, из равенств , , получим , , , где – гиперболический синус и косинус.

3. Дифференцирование изображения. Если , тогда .

Так как , то = . Из свойства смещения изо–

бражения следует, что . Из свойства 3при получаем, что = , .

4. Дифференцирование оригинала. Если оригиналы и , то

.

Свойство дифференцирования оригинала используется для отыска–

ния решений дифференциальных уравнений и систем. Для этого составим

таблицу изображений.

Оригинал Изображение

1. 1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Для удобства преобразование Лапласа функции будем обозначать так: .

Пример. Решим задачу Коши .

Обозначим – изображение оригинала . Применим к левой и правой частям данного уравнения преобразование Лапласа . По свойству линейности преобразования Лапласа имеем . По свойству дифференцирования оригинала ,

, . Следовательно, для изображения выполнено равенство + 2 + = , из которого получаем = или = . Разложим

правильную дробь на простейшие дроби: = + + + + . Сложив дроби в правой части равенства, получим

= .

Приравняв числители этих дробей, получим равенство двух полиномов = 2, из которого при получаем , а при получаем . Для отыскания оставшихся неизвестных , приравняв коэффициенты при и , получим систему линейных алгебраических уравнений вида

Вычитая из второго уравнения системы первое и второе уравнения, находим . Следовательно, = = – + – – . Используя свойство линейности обратного преобразования Лапласа и таблицу изображений, находим решение задачи Коши = 6 – 4 + – 6 – = .

Пример. Решить задачу Коши для системы уравнений

с начальными данными .

Обозначим , – изображения искомого решения рассматриваемой системы. Применив к каждому уравнению системы преобразование Лапласа, получим систему двух алгебраических уравнений с неизвестными ,

, .

Выразив из первого уравнения , и подставив это выражение во второе уравнение, получим , . Очевидно, каждую из этих дробей можно представить в следующем виде

= , = .

Для определения неизвестных используем равенства

. Из этих равенств, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, получим , откуда следует, что . Следовательно, , . Из таблицы изображений и оригиналов получим решение рассматриваемой задачи Коши

, .

Задание 2. Формула классической вероятности.

Событием называют один из возможных исходов случайного эксперимента.

Например, возможными исходами случайного эксперимента, который состоит в бросании двух игральных костей, могут быть следующие события: , , {сумма выпавших очков не менее 11}.

Над событиями определены действия сложение и умножение.

Определение. Суммой событий называют событие, состоящее в том, что осуществилось хотя бы одно из этих событий. Произведением событий называют событие, состоящее в том, что события произошли одновременно.

Определение. Событие благоприятствует событию (используется обозначение ), если из того что произошло событие следует, что произошло и событие .

Например, при бросании одной игральной кости, событие благоприятствует событию .

Определение. Достоверным называется событие, которое осуществляется при любом исходе случайного эксперимента (будем обозначать буквой ). Невозможным называется событие, которое не осуществляется не при каком исходе случайного эксперимента (будем обозначать буквой V).

Например, при бросании двух игральных костей, событие ={сумма выпавших очков не превосходит 12} является достоверным, а событие V = {сумма выпавших очков равна 13} является невозможным.

Для любого события справедливы равенства

Определение. Событие, состоящее в том, что событие не произошло, называют противоположным событию и обозначают .

Например, при бросании одной игральной кости, событие является противоположным событию = {выпало нечётное число}.

Очевидно, что . Справедливы также формулы двойственности

, . (19)

Определение. События и называют несовместными, если они не могут произойти одновременно (то есть = V). Например, события и несовместны.

Действия над событиями обладают следующими свойствами:

1. 2) 3)

4) 5) .

Под вероятностью события понимают численную характеристику возможности осуществления этого события в данном случайном эксперименте. Чтобы вычислить вероятность некоторого события в рассматриваемом случайном эксперименте сначала нужно в этом эксперименте выделить группу элементарных событий , которые удовлетворяют следующим условиям:

1. эти события равновозможны;

2. попарно несовместны, то есть если ;

3. образуют полную группу событий, то есть (хотя бы одно из этих событий осуществляется при любом исходе эксперимента);

4. для любого события существуют события .

Определение. Вероятностью события называют число

, (20)

где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию , n – общее число элементарных событий.

Пример. Найдём вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет не менее 11.

В данном случайном эксперименте элементарными событиями яв–

ляются пары чисел , где – цифры от 1 до 6, выпавшие на первом и втором кубиках. Так как каждая грань одного кубика может выпасть с любой гранью второго, то общее число элементарных событий равно Элементарными событиями, благоприятствующими событию A = {сумма выпавших очков } будут события (5,6), (6,5), (6,6), то есть m = 3. Следовательно,

Перечислим основные свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события , так как все элементарные события благоприятствуют достоверному событию и .

2. Вероятность невозможного события , так как число элементарных событий, благоприятствующих этому событию .

3. Если события несовместны, тогда .

4. Если событие благоприятствует событию , тогда .

5. Так как события и несовместны, а , то справедливы равенства , откуда следует, что вероятность противоположного события

Условная вероятность. Независимые события

Определение. Условной вероятностью события при условии события называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже произошло. Условная вероятность события обозначается и вычисляется по формуле , где – число элементарных событий, благоприятствующих событию , – число элементарных событий, благоприятствующих событиям и одновременно.

Определение. События и называются независимыми, если вероятность каждого события не зависит от того произошло или нет другое событие, то есть полная вероятность каждого события равна условной вероятности. В противном случае эти события называются зависимыми. Таким образом, независимость событий и эквивалентна выполнению равенств .

Пример. Рассмотрим события , {выпало чётное число} при бросании игральной кости. Имеем , , то есть , , , то есть . Следовательно, события и независимы.

Теорема о вероятности произведения событий

Вероятность произведения событий равна

.

Это равенство называют теоремой о вероятности событий. В частности, если события независимы, то есть условные вероятности равны полным вероятностям, последнее равенство принимает следующий вид

.

Пример. Из урны, содержащей 3 белых, 4 чёрных и 5 красных шаров, извлекли наугад 3 шара. Найти вероятность того, что все извлечённые шары были красного цвета.

Можно считать, что шары извлекались по одному. Введём события = {первый извлечённый шар красный}, = {второй извлечённый шар красный}, = {третий извлечённый шар красный}. Тогда событие = {все три шара были красного цвета} равно произведению событий , а = = .

Пример. Докажем, что несовместные события (их произведение есть невозможное событие) с ненулевыми вероятностями зависимы.

Действительно, если бы эти события были независимы, то по теореме о вероятности произведения для независимых событий выполнялось бы равенство , что невозможно. Следовательно, рассматриваемые события зависимы.

Теорема о вероятности суммы событий

Вероятность суммы двух событий A и B вычисляется по формуле ,

которую называют теоремой о вероятности суммы двух событий.

Пример. Студент знает 20 из 30 экзаменационных вопросов. Экзаменационный билет содержит два вопроса. Найти вероятность того, что студент знает хотя бы один вопрос билета.

Введём события = {студент знает первый вопрос билета}, =

{студент знает второй вопрос}. Тогда событие = {студент знает хотя бы один вопрос билета} = + , а = = = .

Отметим, что этот пример можно решить с использованием двойственности (19). Действительно .

Теорема о вероятности суммы более двух событий имеет сложный вид и ей трудно пользоваться на практике. Поэтому в таких случаях используются формулы двойственности (19): = .

Пример. Вероятности поразить цель при одном выстреле у трёх стрелков равны 0,7; 0,8; 0,9 соответственно. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок поразил цель.

Введём события = {первый стрелок поразил цель}, = {второй стрелок поразил цель}, = {третий стрелок поразил цель}. Тогда событие = , а вероятность 1– = = (так как события независимы) = = , так как ,

Число размещений, перестановок и сочетаний