4.3. Резонансные цепи. Колебательные контуры

Явление резкого возрастания амплитуды отклика при приближении частоты внешнего воздействия к определенному значению частоты называется резонансом. Такой резонанс имеет место в механике и называется амплитудным резонансом. Частота, на которой выполняется условие резонанса, называется резонансной частотой.

В электротехнике величины, характеризующие режим работы цепи на разных элементах, имеют амплитудный резонанс на разных, хотя и близких частотах. Поэтому в теории цепей под резонансом понимают фазовый резонанс. Под фазовым резонансом понимают условие, при котором цепь, содержащая реактивные элементы (L и C), имеет входное сопротивление резистивное, т.е. при резонансе ток и напряжение находятся в одной фазе, как и на любом резистивном элементе, а сдвиг по фазе равен нулю.

Электрические цепи, в которых имеет место явление резонанса, называются резонансными. Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными контурами.

Колебательные контуры используются для решения задач частотной избирательности. Под частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона частот. К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный колебательный контур, также систему связанных контуров.

4.3.1. Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из последовательного соединения индуктивности L и емкости C (рис. 4.17).

Для анализа процессов, протекающих в контуре, воспользуемся эквивалентной схемой замещения контура, в которой учтем резистивные сопротивления потерь реальных реактивных элементов (рис. 4.18). Схемы замещения реактивных элементов с учетом их резистивных сопротивлений приведены на рис. 4.19. Здесь R_L – резистивное сопротивление провода катушки индуктивности, R_ут – сопротивление утечки диэлектрика конденсатора, R_C – сопротивление утечки, пересчитанное в последовательную ветвь. Схема замещения последовательного контура приведена на рис. 4.18. В ней – резистивное сопротивление контура, учитывает резистивные сопротивления реактивных элементов.

Определим частотную характеристику входного сопротивления последовательного колебательного контура:

,

где R – резистивная и – реактивная составляющая сопротивления последовательного колебательного контура;

– обобщенная расстройка колебательного контура.

Характер входного сопротивления Z_вх(jω) зависит от частоты.

1) На низких частотах (НЧ) ; X < 0. Это означает, что сопротивление носит емкостной характер, его можно представлять эквивалентной схемой, приведенной на рис. 4.20, а.

2) На высоких частотах (ВЧ) , Х > 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис. 5.20, б).

3) На некоторой частоте , , Х = 0, сопротивление контура имеет резистивный характер, а его схема замещения состоит из резистора R.

Ч астота, на которой выполняется это условие, называется резонансной, она определятся как ω₀ = (LC)^–1/2 .

Отметим свойства последовательного контура на резонансной частоте:

1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φ_u = φ_i, сдвиг по фазе равен φ = φ_u – φ_i = 0.

3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна .

4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны – характеристическому сопротивлению контура, т.е.

.

5 ) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и в Q (добротность) раз больше (амплитуды напряжения на входе).

, Q – добротность контура, .

Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю: .

Резонансная характеристика последовательного колебательного контура

Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплилитуде тока при резонансной частоте, т.е.

.

Отсюда АЧХ: (рис. 4.21); ФЧХ: .

– обобщенная расстройка,

=₀, a(₀)=1, n=1.

На остальных частотах резонансная характеристика убывает:

=0, a – , n=0; , a , n=0.

Важным параметром колебательного контура является его полоса пропускания (S) – диапазон частот, в котором резонансная характеристика превышает уровень , т.е. , S = ω_в – ω_н, где ω_в, ω_н – верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания (рис. 4.22).

n()

n()

₀







₀

()

Q₁

Q₂

Q₂

Q₁

1

0,707

S

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Параметры контура S, Q и ω₀ связаны соотношением . Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.

Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника сигнала (R_i) и сопротивления нагрузки (R_н)

С хема замещения последовательного колебательного контура с учетом добавочных элементов R_i, R_н представлена на рис. 4.23. Нагрузка подключена параллельно емкости. Параллельную RC цепь (с постоянными R и C) можно пересчитать на последовательную RC-цепь, ее параметры R_s C_s, однако, будут зависеть от частоты. Нетрудно показать, что если выполняется условие RC>>1, тогда C_s C, и . Вблизи резонансной частоты (₀) . На рис. 4.24 показано эквивалентное преобразование параллельной RC цепи в последовательную, где .

Добротность контура с учетом добавочных элементов R_i, R_н называется эквивалентной и определяется из следующего выражения:

.

Она меньше собственной добротности контура Q. Для того чтобы , необходимо:

1) . Это означает, что последовательный колебательный контур необходимо питать от источника ЭДС, т.е. источника с нулевым сопротивлением.

2) . В этом случае нагрузка не будет влиять на добротность контура.

П оследовательный колебательный контур как четырехполюсник

На практике используются две схемы включения рис. 4.25. Для четырехполюсника основной частотной характеристикой является передаточная по напряжению.

1 ) .

2 ) .

П остроим графики амплитудно-частотные характеристик этих зависимостей (рис. 4.26). Подробный анализ показывает, что при высоких добротностях резонансные частоты обеих схем совпадают и равны ω₀.

4.3.2. Параллельный колебательный контур

О н состоит из параллельно соединенных двух реактивных элементов L и C. Его принципиальная схема приведена на рис. 4.27, а.

Схема замещения контура с учетом резистивных потерь реактивных элементов приведена на рис. 4.27, б.

Определим комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура

Обозначим – общие резистивные потери параллельного контура. При условии, что вблизи от резонанса ; , получим окончательное выражение для сопротивления параллельного колебательного контура.

.

Характер сопротивления параллельного колебательного контура зависит от частоты.

1) На НЧ – характер индуктивный. Схема замещения состоит из элементов R, L и приведена на рис. 4.28а,. Сопротивление контура Z_к.к (ω = 0) = R_L.

2) На ВЧ сопротивление носит емкостной характер, (рис. 5.28б). Сопротивление контура Z_к.к (ω ) = R_C.

3) На , когда , сопротивление контура имеет резистивный характер Z_к.к (ω₀) = ρQ (рис. 4.28в), где ω₀ = (LC)^1/2 – резонансная частота.

а б в Рис. 4.28

Отметим свойства параллельного контура на резонансной частоте.

1. Сопротивление контура имеет резистивный характер, и его модуль имеет максимальное значение по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2. Ток и напряжение совпадают по фазе.

3. – сопротивление реактивных элементов одинаково и равно .

4. Амплитуда тока через реактивные элементы в Q раз превышает ток во внешней цепи: , поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. Это вытекает из следующего:

; .

5) Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180.

Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного контура, которые определяются выражениями:

А ЧХ: ; ФЧХ: .

Построенные графики приведены на рис. 4.29.

Резонансная характеристика параллельного колебательного контура

О на представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на резонансной частоте: .

Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного контуров одинаков, это их и объединяет. По характеру зависимости сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами (см. рис. 4.29).

Влияние сопротивлений источника сигнала и нагрузки на добротность параллельного колебательного контура

Схема замещения контура с учетом этих добавочных элементов приведена на рис. 4.30.

Д обротность контура с учетом паразитных элементов называется эквивалентной и определяется выражением

.

Для того чтобы , необходимо:

1) , т.е. контур питать от источника тока.

2) , т.е. контур по выходу должен работать в режиме холостого хода.