Вироджені і невироджені оператори

Нехай - деякий вимірний простір, а – лінійний оператор .

Означення 11. Лінійний оператор простору називається невиродженим, якщо його ранг дорівнює ; оператор називається виродженим, якщо його ранг менший ніж .

Із теореми 10 випливають рівносильні умови невиродженості оператора :

1) область значень оператора збігається з простором ;

2) дефект оператора дорівнює нулю;

3) ядро оператора складається лише з нульового вектора.

Теорема 11. Лінійний оператор простору є невиродженим тоді і тільки тоді, коли його матриця в довільно вибраному базисі простору – неособлива.

Теорема 12. Невироджений лінійний оператор простору взаємно однозначно відображає простір на весь .

Теорема 13. Невироджений лінійний оператор простору будь-яку лінійно незалежну систему векторів цього простору переводить в лінійно незалежну систему.

Обернений оператор

Нехай – лінійний оператор простору .

Означення 12. Лінійний оператор простору називається оберненим лінійному оператору , якщо E, де E – одиничний оператор. Позначають обернений оператор . маємо E= . Отже, E .

Теорема 14. Для того щоб існував оператор , обернений оператору , необхідно і достатньо, щоб оператор був невиродженим.

Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Нехай – підпростір лінійного простору , а – лінійний оператор в . Образ підпростору відносно оператора може й не міститися в .

Означення 13. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора міститься в .

Н ехай – довільний векторний простір і – його одновимірний підпростір; – лінійний оператор простору . Одновимірний підпростір породжується будь-яким своїм ненульовим вектором. Отже, – сукупність векторів виду: . З геометричної точки зору – це пряма

Якщо підпростір інваріантний відносно оператора , то , тобто , де .

Отже, колінеарний .

Означення 14. Вектор , що задовольняє співвідношення , де, називається власним вектором оператора , а число – власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Інакше кажучи, називається власним вектором оператора , якщо оператор переводить вектор в колінеарний (пропорційний) йому вектор: .

Для відшукання інваріантних відносно лінійного оператора одновимірних підпросторів достатньо вміти знаходити власні вектори лінійного оператора простору .

Теорема 16. Власні вектори лінійного оператора , яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.

Характеристичне рівняння лінійного оператора

Нехай - довільний векторний простір, , . В лінійний оператор визначається матрицею , , – одинична матриця і - деяке невідоме.

Означення 15. Матриця виду називається характеристичною матрицю для , тобто матриця виду:

,

а називається характеристичним многочленом матриці , корені якого називаються характеристичними коренями цієї матриці: – характеристичне рівняння матриці .

Визначник матриці є многочленом го степеня від . (Корені цього многочлена можуть бути як дійсними так і комплексними).

Так як матриці лінійного оператора в різних базисах подібні, а визначники подібних матриць рівні між собою, то характеристичні рівняння, а отже і характеристичні корені лінійного оператора однакові.

Означення 16. Сукупність характеристичних коренів лінійного оператора з врахуванням їх кратності називається спектром лінійного оператора . Якщо всі характеристичні корені лінійного оператора різні, то спектр називають простим.

Теорема 17. Для того, щоб число з поля було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб воно було характеристичним коренем цього оператора.