Задачі рекомендовані для розв‘язування в аудиторії
1. Нехай
і
та
– лінійні оператори простору
.
,
.
Знайти координати векторів та їх матриці
в тому ж базисі.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
2.
Лінійний оператор
векторного простору
над полем дійсних чисел
у деякому базисі
цього простору задано матрицю
.
Знайти ранг
і дефект
цього лінійного оператора
.
Побудувати ядро
і область значень
оператора
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
3.
Лінійний оператор
в базисі
задано матрицею
.
Встановити, чи є
невиродженим і якщо так, то знайти
матрицю. Оберненого оператора
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
4.
Лінійний оператор
у деякому базисі
має матрицю
.
Знайти характеристичні корені матриці
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
5.
Знайти власні значення та власні вектори
лінійного оператора
,
заданого матрицею
.
З’ясувати, чи складають базис власні
вектори простору
і якщо так, то записати матрицю оператора
в цьому базисі.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
6. В базисі простору оператор задано матрицею .
а) знайти
всі підпростори
простору
,
інваріантні відносно оператора
;
б) чи має простий спектр, і якщо так, то знайти базис, в якому зводиться до діагонального вигляду, вказати цю матрицю.
а)
;
б)
;
в)
.
г)
;
д)
;
е)
Задачі рекомендовані для розв‘язування дома
1. Нехай і та – лінійні оператори простору . , . Знайти координати векторів та їх матриці в тому ж базисі.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
2. Лінійний оператор векторного простору над полем дійсних чисел у деякому базисі цього простору задано матрицю . Знайти ранг і дефект цього лінійного оператора . Побудувати ядро і область значень оператора .
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
3. Лінійний оператор в базисі задано матрицею . Встановити, чи є невиродженим і якщо так, то знайти матрицю. Оберненого оператора .
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
4. Лінійний оператор у деякому базисі має матрицю . Знайти характеристичні корені матриці .
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
5. Знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора , заданого матрицею . З’ясувати, чи складають базис власні вектори простору і якщо так, то записати матрицю оператора в цьому базисі.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
6. В базисі простору оператор задано матрицею .
а) знайти всі підпростори простору , інваріантні відносно оператора ;
б) чи має простий спектр, і якщо так, то знайти базис, в якому зводиться до діагонального вигляду, вказати цю матрицю.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.