8Интегрирование рациональных дробей

     Рациональной дробью называется дробь вида  , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.      Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов)  неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например,  .      Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида  , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:             Пример.  Найти интеграл  .      Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:       .      Разложим знаменатель на линейные множители по формуле:  , где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения   то есть  .            откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа       Решая ее, имеем:   значит:  ,      

6. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x), [f₁(x)≤f₂(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле      П ример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x², y=–x–2.      Решение. Сделаем чертеж.      Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:      –x²=–x–2 или x²–x–2=0, x₁=–1,x₂=2.      Значит,                   =–3+1,5+4+2=4,5.      Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох; находится по формуле:  .       Длина кривой, заданной уравнением y=f(x), a ≤x≤b,выражается следующим образом: 

9Интегрирование простейших дробей.

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теорииразложение дроби на простейшие. Пример. Найти неопределенный интеграл  . Решение. Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:    Поэтому,  . Разложение полученной правильной рациональной дроби   на простейшие дроби имеет вид  . Следовательно,    Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала. Так как  , то  . Поэтому    Следовательно,    Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:    Пример. Найти множество первообразных функции  Решение. Найдем неопределенный интеграл  , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования  . 

10 Интегрирование иррациональных функций.

Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.

• Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида  , где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты. Пример. Найти множество первообразных функции  . Решение. Правило интегрирования   и таблица первообразных сразу приводят нас к ответу:   Ответ:  . К началу страницы 

• Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида  , где p – рациональная дробь. Пример. Найти неопределенный интеграл  . Решение. Не трудно заметить, что  . Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных:   Ответ:  . К началу страницы 

• Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида  , где p и q – действительные коэффициенты. В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня: и используем формулу из таблицы неопределенных интегралов  . То есть,   Пример. Найти неопределенный интеграл  . Решение. Для начала вынесем двойку из под знака радикала:   В подкоренном выражении выделяем полный квадрат: Поэтому   Ответ:  . К началу страницы 

• Аналогично проводится интегрирование иррациональных функций вида  . Пример. Найдите неопределенный интеграл  . Решение. Выделим полный квадрат в выражении под знаком корня:   Пришли к табличному интегралу  , поэтому Ответ:  . К началу страницы 

• Нахождение множества первообразных иррациональных функций  , где M, N, p иq – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных. Разберем пример для наглядности. Пример. Найти множество первообразных функции  . Решение. Так как   и  , то   Поэтому   Ответ:  . К началу страницы 

• Неопределенные интегралы иррациональных функций вида   находятся методом подстановки. В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:

  1. Если p - целое число, то принимают  , где N - общий знаменатель чисел m и n.

2. Если   - целое число, то  , где N - знаменатель числа p.

3. Если   - целое число, то вводят новую переменную  , где N - знаменатель числа p.

Пример. Найти неопределенный интеграл  . Решение.   То есть, m = -1, n = 1,  . Так как   - целое число, то вводим новую переменную   (N = 2 – знаменатель числа p). Выражаем х через z:   Выполняем подстановку в исходный интеграл:    Ответ:  . К началу страницы 

11Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла   при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается  .  Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.  Примеры: 1.  ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.  2.   ; следовательно, интеграл сходится и равен  .  Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от   до b :   и в пределах от   до  :  . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.  Примеры: 3.  . Интеграл сходится.  4.      следовательно, интеграл сходится и равен  .  Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:   сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл   (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности  , и   от b не зависит, то конечный предел при   для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).